Área entre Curvas

Encuentra el área entre curvas usando integrales definidas. Se presentan tutoriales sobre las aplicaciones de integrales para calcular áreas entre curvas, con ejemplos y soluciones detalladas. Este tutorial es una continuación del tutorial sobre área bajo una curva. Comienza desde algunos ejemplos obvios hasta otros más desafiantes que deben intentarse si se desea obtener una buena preparación en las aplicaciones de integrales.

Fórmulas de Áreas Entre Curvas

Podemos encontrar el área entre dos curvas restando el área correspondiente a la curva inferior al área de la curva superior de la siguiente manera:
1) Si f y h son funciones de x tal que f(x) ≥ h(x) para todo x en el intervalo [ x1 , x2 ], el área mostrada a continuación (en azul) se da por

Fórmula de Área Entre Dos Curvas como Funciones de x

área finita entre dos curvas definidas como funciones de x

Figura 1. Área finita entre dos curvas definidas como funciones de x

2 - Si Z y X son funciones de y tal que   Z(y) ≥ X(y)   para todo y en el intervalo [ y1 , y2 ], el área mostrada a continuación, en azul, se da por

Fórmula de Área Entre Dos Curvas como Funciones de y
área finita entre dos curvas definidas como funciones de y

Figura 2. Área finita entre dos curvas definidas como funciones de y



Ejemplos con Soluciones

Ejemplo 1

Encuentra el área de la región encerrada entre las curvas definidas por las ecuaciones y = x 2 - 2x + 2 y y = - x 2 + 6 .

Solución al Ejemplo 1


Primero graficamos las dos ecuaciones y examinamos la región encerrada entre las curvas.
área entre curvas, ejemplo 1

Figura 3. Área entre curvas ejemplo 1.

La región cuyo área se cuestiona está limitada por encima por la curva   y = - x 2 + 6   y por debajo por la curva   y = x 2 - 2x + 2. El punto de inicio y el punto final de la región son el punto de intersección de las curvas y se pueden encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones
y = x 2 - 2x + 2   y   y = - x 2 + 6.
lo cual da como resultado
x = -1 y x = 2
Por lo tanto, para encontrar el área de la región cuestionada, usamos el siguiente cálculo.
A = ∫[ -1 , 2 ] [ ( - x 2 + 6 ) - ( x 2 - 2x + 2 ) ] dx = ∫[ -1 , 2 ] ( -2x 2 + 2x + 4 ) dx.
Luego de integrar, obtenemos
A = [ - ( 2/3 )x 3 + x 2 + 4x ] 2 x = -1 x = 2
= [ ( - ( 2/3 ) * 2 3 + 2 2 + 4 * 2 ) - ( - ( 2/3 ) * ( -1 ) 3 + ( -1 ) 2 + 4 * ( -1 ) ) ]
= [ ( - ( 16/3 ) + 4 + 8 ) - ( - ( 2/3 ) - 1 - 4 ) ] = [ ( - 16/3 + 4 + 8 ) - ( 2/3 - 1 - 4 ) ] = [ ( 4/3 + 12 ) - ( -11/3 ) ] = ( 4/3 + 12 + 11/3 ) = 4/3 + 36/3 + 11/3 = 51/3 = 17.
Por lo tanto, el área de la región cuestionada es 17.