Cómo encontrar el área bajo las curvas usando integrales definidas; se presentan tutoriales, con ejemplos y soluciones detalladas. También se incluyen ejercicios con respuestas al final de la página. Además, se incluyen tutoriales sobre área entre curvas.
Área bajo una curva
Figura 1. Aproximación del área bajo una curva mediante la suma de áreas de rectángulos.
Podemos aproximar el área bajo la curva desde x = x1 hasta x = xn dividiendo todo el área en rectángulos. Por ejemplo, el área del primer rectángulo (en negro) se da por:
y luego agregamos las áreas de estos rectángulos de la siguiente manera:
Si Δx en la aproximación anterior de la expresión del área se vuelve lo suficientemente pequeño, la suma de las áreas de los rectángulos se acercará al valor exacto del área bajo la curva. Por lo tanto, definimos el área de la siguiente manera:
El límite anterior existe, tiene la siguiente notación utilizando el concepto de integrales definidas.
Ahora presentamos varios ejemplos sobre cómo usar integrales para encontrar el área bajo una curva. También se incluyen soluciones detalladas a estos ejemplos.
Ejemplos con Soluciones Detalladas
Ejemplo 1
Encuentra el área de la región delimitada por y = 2x, y = 0, x = 0 y x = 2.(ver figura abajo).
Figura 2. Área bajo una curva ejemplo 1.
Solución al Ejemplo 1
Se utilizan dos métodos para encontrar el área.
\( \) \( \) \( \) \( \)
Método 1 Este problema se puede resolver utilizando la fórmula para el área de un triángulo.
\( \text{área} = (1/2) \times \text{base} \times \text{altura} = (1/2) \times 2 \times 4 = 4 \; unidad^2 \)
Método 2
Ahora usaremos integrales definidas para encontrar el área definida anteriormente. Si dejamos f(x) = 2x , usando la fórmula del área dada por la integral definida anteriormente, tenemos
\( \displaystyle
\text{Área} = \int_{0}^{2} (2x) dx = 2 \int_{0}^{2} x dx = [2(x^2/2)]_0^2 = 4 \; \text{unidad}^2
\)
El primer método es rápido pero funciona porque el área es la de un triángulo, sin embargo, el segundo método funciona para figuras distintas a los triángulos.
Ejemplo 2
Encuentra el área de la región delimitada por y = 0.1 x3, y = 0, x = 2 y x = 4.
Solución al Ej
emplo 2
Primero graficamos la función dada e identificamos la región cuyo área se debe encontrar.
Figura 3. Área bajo una curva ejemplo 2 , y = 0.1 x3, x = 2 , x = 4 y y = 0.
Usamos las integrales definidas para encontrar el área de la siguiente manera:.
\( \displaystyle
\text{Área} = \int_{2}^{4} (0.1 x^3) dx = 0.1 \int_{2}^{4} x^3 dx = 0.1 \left [x^4/4 \right ]_2^4 \\\\
= 0.1 [4^4/4 - 2^4/4] = 6 \;\text{unidad}^2
\)
Ejemplo 3
Encuentra el área de la región finita delimitada por la curva de \( y = 3(x - 1)(x - 3) \) y el eje x.
Solución al Ejemplo 3
Nota que no se dan los límites de integración y por lo tanto es necesaria un estudio detallado del gráfico de la función dada. El gráfico de la función dada muestra que hay dos intercepciones x que son fáciles de encontrar ya que la función dada está en forma factorizada: x = 1 y x = 2. La región finita está delimitada por la curva de y = 3(x - 1)(x - 3), x = 1, x = 3 y el eje x como se muestra en el gráfico a continuación.
Figura 4. Área finita entre la curva ejemplo 3, las intersecciones x y el eje x (y = 0)
Observa que la integral definida encontrada es negativa y eso se debe a que y = 3(x - 1)(x - 3) es negativa entre los límites de integración x = 1 y x = 3. El área es el valor absoluto de -4 y por lo tanto es 4 unidad2.
Ejemplo 4
Encuentra el área de la región finita delimitada por la curva de \( y = - 0.25 x (x + 2)(x - 1)(x - 4) \) y el eje x.
Solución al Ejemplo 4
.
La función dada es un polinomio de grado 4 con coeficiente principal negativo. Graficamos la función dada y la estudiamos para identificar la región finita delimitada por la curva y el eje x. El gráfico de la función dada tiene 3 intercepciones x: x = - 2, 1 y 4. La región finita está compuesta por tres regiones. La primera va de x = - 2 a x = 0. La segunda región va de x = 0 a x = 1 y la tercera de x = 1 a x = 4.
Figura 5. Área finita entre la curva y el eje x en el ejemplo 4
Calculemos las siguientes integrales definidas tomando como límites las intersecciones x.
Región 1
\(\displaystyle
I_1 = \int_{-2}^{0} (- 0.25 x (x + 2)(x - 1)(x - 4)) dx
\)
Expandimos \( x (x + 2)(x - 1)(x - 4) \) y sacamos - 0.25 fuera de la operación de integración.
\(\displaystyle
= -0.25 \int_{-2}^{0} (x^4-3x^3-6x^2+8x) dx \\\\
= - 0.25 \left [ x^5/5-3x^4/4-6x^3/3+8x^2/2 \right ]_{-2}^0 = 3.4
\)
Nota que I2 es negativa porque entre x = 0 y x = 1 , \( y = - 0.25 x (x + 2)(x - 1)(x - 4) \) es negativa. Por lo tanto, necesitamos tomar el valor absoluto de la integral definida de I2 para encontrar el área de la región de x = 0 a x = 1. Por lo tanto, el área total está dada por:
Encuentra k para que el área de la región finita delimitada por la curva de \( y = - x( x - k) \) y el eje x sea igual a 4/3 unidades2.
Solución al Ejemplo 5
.
El gráfico de la función dada es una parábola que se abre hacia abajo y tiene dos intersecciones x: x = 0 y x = k. La región finita delimitada por la curva y el eje x está limitada en las intersecciones x como se muestra en el gráfico a continuación.
Figura 6. Área finita entre la parábola y el eje x en el ejemplo 5
El área entre la curva y y = 0 es
\(\displaystyle
\text{Área} = \int_{0}^{k} (- x( x - k)) dx \\\\
\)
Como era de esperar, la expresión para el área incluye el parámetro k que se calcula estableciendo el área igual a 4/3. Por lo tanto
\(
k^3 / 6 = 4 / 3
\)
Resolvemos la ecuación anterior para k para obtener
\(
k = 2
\)
Ejercicios
1) Encuentra el área de la región finita delimitada por \( y = -(x+1)(x-3) \) y y = 0
2) Encuentra el área de la región finita delimitada por \( y = sin(x) \), y = 0 , x = 0 y x = 2π.
3) Encuentra k positivo para que el área bajo la curva de \( y = (x + 2) \) los ejes verticales x = 0, x = k y el eje x sea igual a 2.
