Problema : Encuentra el área de una elipse con semiejes \( a \) y \( b \).
Solución al problema:
La ecuación de la elipse mostrada arriba puede escribirse en la forma
\( \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \)
Dado que la elipse es simétrica respecto a los ejes \( x \) y \( y \), podemos encontrar el área de un cuarto y multiplicar por 4 para obtener el área total.
Resolvamos la ecuación anterior para \( y \)
\( y = \pm b \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a^2}} \)
La parte superior de la elipse (\( y \) positiva) está dada por
\( y = b \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a^2}} \)
Ahora usamos integrales para encontrar el área del cuarto superior derecho de la elipse de la siguiente manera
\( \dfrac{1}{4} \) Área de la elipse = \( \displaystyle \int_{0}^{a} b \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a^2}} \, dx \)
Ahora hacemos la sustitución \( \quad \sin t = \dfrac{x}{a} \) de modo que \( dx = a \cos t \, dt \) y el área está dada por
\( \dfrac{1}{4} \) Área de la elipse = \( \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} a b ( \sqrt{1 - \sin^2 t} ) \cos t \, dt \)
\( \sqrt{1 - \sin^2 t} = \cos t \) ya que \( t \) varía desde \( 0 \) hasta \( \dfrac{\pi}{2} \), por lo tanto
\( \dfrac{1}{4} \) Área de la elipse = \( \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} a b \cos^2 t \, dt \)
Usamos la identidad trigonométrica \( \cos^2 t = \dfrac{\cos 2t + 1}{2} \) para linearizar el integrando;
\( \dfrac{1}{4} \) Área de la elipse = \( \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} a b ( \dfrac{\cos 2t + 1}{2} ) \, dt \)
Evaluamos la integral
\( \dfrac{1}{4} \) Área de la elipse = \( \dfrac{1}{2} b a [ \dfrac{1}{2} \sin 2t + t ] \bigg|_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \)
\( = \dfrac{1}{4} \pi a b \)
Obtenemos el área total de la elipse multiplicando por 4
Área de la elipse = \( 4 \times \dfrac{1}{4} \pi a b = \pi a b \)
Más referencias sobre
integrales y sus aplicaciones en cálculo.
