El área delimitada por una curva de ecuación polar \( r(\theta) \) y por los rayos \( \theta = \theta_1\) y \( \theta = \theta_2\) está dada por la fórmula [1] [2] [3]
\[ \dfrac{1}{2}\int_{\theta_1}^{\theta_2} \; r^2(\theta) \; d\theta \]
Ejemplo 1
Usa la fórmula dada arriba para encontrar el área del círculo encerrado por la curva \( r(\theta) = 2 \sin (\theta) \), cuya gráfica se muestra a continuación, y compara el resultado con la fórmula del área de un círculo dada por \( \pi r^2 \), donde \( r \) es el radio.
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Solución al Ejemplo 1
Nótese que el círculo es barrido por los rayos \( \theta = \theta_1 \) y \( \theta = \theta_2 \) y necesitamos encontrar \( \theta_1 \) y \( \theta_2 \).
Se puede asumir que el círculo comienza en el origen tal que \( r(\theta) = 0 \) y termina en el origen \( r(\theta) =0 \). Por lo tanto, los ángulos \( \theta_1 \) y \( \theta_2 \) se encuentran resolviendo \( r(\theta) = 0 \). Lo que da la ecuación
\( \sin ( \theta) = 0 \)
que da las siguientes soluciones: \[ \theta_1 = 0 \quad , \quad \theta_2 = \pi \]
El área \( A \) del círculo está dada por
\[ A = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi} \; (2 \sin \theta )^2 \; d\theta \]
Simplificar
\[ A = 2\int_{0}^{\pi} \; (\sin \theta )^2 \; d\theta \]
Usa la identidad trigonométrica \( \sin^2 \theta = \dfrac{1}{2} (1 - \cos(2\theta) )\) y simplifica para obtener
\[ A = \int_{0}^{\pi} \; (1 - \cos(2\theta) ) \; d\theta \]
Evalúa la integral
\[ A = \left[\theta -\dfrac{1}{2}\sin (2 \theta ) \right]_0^{\pi} = \pi \]
El área del círculo dado cuyo radio es \( 1 \) podría haberse calculado usando la fórmula \( \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi \)
Ejemplo 2
Encuentra el área de la región encerrada por la curva \( r(\theta) = \sin ( 3 \theta) \) cuya gráfica se muestra a continuación.
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Solución al Ejemplo 2
Debido a la simetría de la gráfica de la curva, necesitamos encontrar el área encerrada por un bucle y luego multiplicar el resultado por \( 3 \).
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El bucle de la derecha (en azul) comienza en el origen \( r (\theta) = 0\) y termina en el origen \( r (\theta) = 0\). Por lo tanto, \( \theta_1 \) y \( \theta_2 \) se encuentran resolviendo \( r(\theta) = 0 \). Lo que da la ecuación
\[ \sin (3 \theta) = 0 \]
que da las soluciones generales: \[ 3 \theta = n \pi \] con \( n = 0, \pm 1, \pm 2, ...\)
Necesitamos las soluciones en el cuadrante (I) que están dadas por
\[ \theta_1 = 0 \] y \[ \theta_2 = \dfrac{\pi}{3} \]
El área del bucle sombreado (en azul) está dada por
\[ A = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \; (\sin 3 \theta )^2 \; d\theta \]
Usa la identidad trigonométrica \( \sin^2 (3\theta) = \dfrac{1}{2} (1 - \cos(6\theta) )\) y simplifica para obtener
\[ A = \dfrac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \; (1 - \cos(6\theta)) \; d\theta \]
Evalúa la integral
\[ A = \dfrac{1}{4} \left[\theta - \frac{1}{6}\sin (6\theta) \right]_0^{\frac{\pi}{3}}= \dfrac{\pi}{12} \]
El área total de los tres bucles está dada por \[ 3 A = \dfrac{ \pi}{4} \]
Ejemplo 3
Encuentra el área de la región común a las curvas \( r_1(\theta) = \sin (\theta) \) y \( r_2(\theta) = 0.5 (1+\cos ( 2\theta)) \) como se muestra a continuación.
Solución al Ejemplo 3
Debido a la simetría, necesitamos encontrar el área de la superficie encerrada por las dos curvas a la derecha, como se muestra a continuación, y multiplicar el resultado por dos.
El área a encontrar se compone de dos partes: \( A_1 \) y \( A_2 \) dadas por
\[ A_1 = \dfrac{1}{2}\int_{\theta_1}^{\theta_2} \; r_1^2(\theta) \; d\theta \]
\[ A_2 = \dfrac{1}{2}\int_{\theta_2}^{\theta_3} \; r_2^2(\theta) \; d\theta \]
Encuentra los límites de integración \( \theta_1 \), \( \theta_2 \) y \( \theta_3 \).
a) \( \theta_1 \) se encuentra resolviendo la ecuación \( r_1 (\theta) = 0 \), por lo tanto \( \sin (\theta) = 0 \), lo que da la solución general \( \theta_1 = n \pi \) con \( n = 0, \pm 1, \pm 2, ...\)
La solución necesaria es \( \theta_1 = 0 \)
b) \( \theta_3 \) se encuentra resolviendo la ecuación \( r_2 (\theta) = 0 \), lo que da \( 0.5 (1+\cos ( 2\theta)) = 0 \)
\( \cos ( 2\theta) = -1 \), lo que da las soluciones generales: \( \theta = \dfrac{\pi}{2} + n\pi \) con \( n = 0, \pm 1, \pm 2, ...\)
La solución necesaria es \( \theta_3 = \dfrac{\pi}{2} \)
c) \( \theta_2 \) corresponde a un rayo que pasa por el punto de intersección de las curvas \( r_1(\theta) \) y \( r_2(\theta) \) y se encuentra resolviendo la ecuación \( r_1(\theta) = r_2(\theta) \) escrita como
\[ \sin (\theta) = 0.5 (1+\cos ( 2\theta)) \]
Usa la identidad \( \cos ( 2\theta) = 1 - 2 \sin^2 \theta \), y reescribe la ecuación como
\[ \sin (\theta) = 0.5 (1+(1 - 2 \sin^2 \theta)) \]
Simplifica
\[ \sin^2 \theta + \sin (\theta) - 1 = 0 \]
Resuelve la ecuación similar a una cuadrática anterior para obtener las soluciones
\[ \sin (\theta')=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \approx 0.61803 \quad \text{y} \quad \sin (\theta")=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \approx -1.61803 \]
La ecuación \( \sin (\theta") \approx -1.61803 \) no tiene solución.
Por lo tanto, la solución general en el cuadrante (I) está dada por \[ \theta' = \arcsin (0.61803) + 2 n \pi \]
lo que da \( \theta_2 = \arcsin\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right) \approx 0.66624 \)
\( A_1 \) y \( A_2 \) se pueden escribir como
\[ A_1 = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{0.66624} \; \sin^2(\theta) \; d\theta \]
\[ A_2 = \dfrac{1}{2}\int_{0.66624}^{\frac{\pi}{2}} \; (0.5 (1+\cos ( 2\theta)))^2 \; d\theta \]
Usa la identidad \( \sin^2 \theta = \dfrac{1}{2} (1 - \cos(2\theta) )\) en \( A_1 \) y simplifica
\[ A_1 = \dfrac{1}{4}\int_{0}^{0.66624} \; (1 - \cos(2\theta) ) \; d\theta \]
Evalúa \( A_1 \)
\[ A_1 = \dfrac{1}{4}[\theta -\dfrac{1}{2}\sin (2\theta) ]_{0}^{0.66624} \approx 0.0450915 \]
Expande el integrando en \( A_2 \)
\[ A_2 = \dfrac{1}{2}\int_{0.66624}^{\frac{\pi}{2}} \; 0.5^2 (1+\cos^2( 2\theta)+2 \cos (2\theta)) \; d\theta \]
Usa la identidad \( \cos^2 (2\theta) = \dfrac{1}{2} (1 + \cos(4\theta) )\) en \( A_2 \) y simplifica
\[ A_2 = \dfrac{0.5^2}{2}\int_{0.66624}^{\frac{\pi}{2}} \; (1+ \dfrac{1}{2} (1 + \cos(4\theta) ) + 2 \cos (2\theta)) \; d\theta \]
Evalúa \( A_2 \)
\[ \dfrac{0.5^2}{2} \left[ \frac{3}{2}\theta+\frac{1}{8}\sin (4 \theta )+\sin (2 \theta) \right]_{0.66624}^{\frac{\pi}{2}} \approx 0.0409645\]
El área total \( A \) común a las dos curvas es \( 2 (A_1 + A_2) \)
\[ A \approx 2(0.0450915 + 0.0409645) = 2(0.086056) = 0.172112 \]