El área delimitada por una curva de ecuación polar \( r(\theta) \) y por los rayos \( \theta = \theta_1\) y \( \theta = \theta_2\) se da por la fórmula [1] [2] [3]
\[ \dfrac{1}{2}\int_{\theta_1}^{\theta_2} \; r^2(\theta) \; d\theta \]
Fig.1 - Curva y Límites de Integración en Coordenadas Polares
Ejemplos y Soluciones
Ejemplo 1
Usa la fórmula dada arriba para encontrar el área del círculo encerrado por la curva \( r(\theta) = 2 \sin (\theta) \) cuyo gráfico se muestra a continuación y compara el resultado con la fórmula del área de un círculo dada por \( \pi r^2 \) donde \( r \) es el radio.
Fig.2 - Círculo en Coordenadas Polares \( r ( \theta) = 2 \sin \theta \)
Solución al Ejemplo 1
Observa que el círculo es barrido por los rayos \( \theta = \theta_1 \) y \( \theta = \theta_2 \) y necesitamos encontrar \( \theta_1 \) y \( \theta_2 \).
Fig.3 - Círculo Delimitado por \( r(\theta) = 2 \sin (\theta) \) Barrido por los Rayos \( \theta = \theta_1 \) y \( \theta = \theta_2 \)
El círculo puede suponerse que comienza en el origen tal que \( r(\theta) = 0 \) y termina en el origen \( r(\theta) =0 \). Por lo tanto, los ángulos \( \theta_1 \) y \( \theta_2 \) se encuentran resolviendo \( r(\theta) = 0 \). Lo que da la ecuación
\( \sin ( \theta) = 0 \)
lo que da las siguientes soluciones
Las soluciones son: \( \theta_1 = 0 \) , \( \theta_2 = \pi \)
El área \( A \) del círculo se da por
\[ A = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi} \; (2 \sin \theta )^2 \; d\theta \]
Simplifica
Usa la identidad trigonométrica \( \sin^2 \theta = \dfrac{1}{2} (1 - cos(2\theta) )\) y simplifica para obtener
\[ A = \int_{0}^{\pi} \; (1 - cos(2\theta) ) \; d\theta \]
Evalúa la integral
\[ A = \int_{0}^{\pi} \; \left[\theta -\dfrac{1}{2}\sin (2 \theta ) \right]_0^{\pi} = \pi \]
El área del círculo dado cuyo radio es \( 1 \) podría haberse calculado usando la fórmula \( \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi \)
Ejemplo 2
Encuentra el área de la región encerrada por la curva \( r(\theta) = \sin ( 3 \theta) \) cuyo gráfico se muestra a continuación.
Fig.4 - Gráfico de la Curva \( r (\theta) = \sin (3 \theta) \)
Solución al Ejemplo 2
Debido a la simetría del gráfico de la curva, necesitamos encontrar el área encerrada por un bucle y luego multiplicar el resultado por \( 3 \).
Fig.5 - Gráfico de la Curva \( r (\theta) = \sin (3 \theta) \) con Límites de Integración
El bucle a la derecha (en azul) comienza en el origen \( r (\theta) = 0\) y termina en el origen \( r (\theta) = 0\). Por lo tanto, \( \theta_1 \) y \( \theta_2 \) se encuentran resolviendo \( r(\theta) = 0 \). Lo que da la ecuación
\( \sin (3 \theta) = 0 \)
lo que da las soluciones generales: \( 3 \theta = n \pi \) con \( n = 0, \pm 1, \pm 2, ...\)
Necesitamos las soluciones en el cuadrante (I) que se dan por
\( \theta_1 = 0 \) y \( \theta_2 = \dfrac{\pi}{3} \)
El área del bucle sombreado (en azul) se da por
\[ A = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \; (\sin 3 \theta )^2 \; d\theta \]
Usa la identidad trigonométrica \( \sin^2 (3\theta) = \dfrac{1}{2} (1 - \cos(6\theta) )\) y simplifica para obtener
\[ A = \dfrac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \; (1 - \cos(6\theta)) \; d\theta \]
Evalúa la integral
\[ A = \dfrac{1}{4} \left[\theta - \frac{1}{6}\sin (6\theta) \right]_0^{\frac{\pi}{3}}= \dfrac{\pi}{12} \]
El área total de los tres bucles se da por \[ 3 A = \dfrac{ \pi}{4} \]
Ejemplo 3
Encuentra el área de la región encerrada por las curvas \( r_1(\theta) = \sin (\theta) \) y \( r_2(\theta) = 0.5 (1+\cos ( 2\theta)) \) como se muestra a continuación.
Fig.6 - Gráfico de las Curvas \( r_1 (\theta) = \sin (\theta) \) y \( r_2(\theta) = 0.5 (1+\cos ( 2\theta)) \)
Solución al Ejemplo 3
Debido a la simetría, necesitamos encontrar el área de la superficie encerrada por las dos curvas a la derecha, como se muestra a continuación, y luego multiplicar el resultado por dos.
Fig.7 - Gráfico de las Curvas \( r_1 (\theta) = \sin (\theta) \) y \( r_3(\theta) = 0.5 (1+\cos ( 2\theta)) \) con Límites de Integración
El área a encontrar se compone de dos partes: \( A_1 \) y \( A_2 \) dadas por
\[ A_1 = \dfrac{1}{2}\int_{\theta_1}^{\theta_2} \; r_1^2(\theta) \; d\theta \]
\[ A_2 = \dfrac{1}{2}\int_{\theta_2}^{\theta_3} \; r_2^2(\theta) \; d\theta \]
Encuentra los límites de integración \( \theta_1 \), \( \theta_2 \) y \( \theta_3 \).
a) \( \theta_1 \) se encuentra resolviendo la ecuación \( r_1 (\theta) = 0 \), por lo tanto \( \sin (\theta) = 0 \) que da la solución general \( \theta_1 = n \pi \) con \( n = 0, \pm 1, \pm 2, ...\)
La solución necesaria es \( \theta_1 = 0 \)
b) \( \theta_3 \) se encuentra resolviendo la ecuación \( r_2 (\theta) = 0 \) que da \( 0.5 (1+\cos ( 2\theta)) = 0 \)
\( \cos ( 2\theta) = -1 \) que da las soluciones generales: \( \theta = n \dfrac{\pi}{2} \) con \( n = 0, \pm 1, \pm 2, ...\)
La solución necesaria \( \theta_3 = \dfrac{\pi}{2} \)
c) \( \theta_2 \) corresponde a un rayo que pasa por el punto de intersección de las curvas \( r_1(\theta) \) y \( r_2(\theta) \) y
se encuentra resolviendo la ecuación \( r_1(\theta) = r_2(\theta) \) escrita como
\( \sin (\theta) = 0.5 (1+\cos ( 2\theta)) \)
Usa la identidad \( \cos ( 2\theta) = 1 - 2 \sin^2 \theta \), y reescribe la ecuación como
\( \sin (\theta) = 0.5 (1+(1 - 2 \sin^2 \theta)) \)
Simplifica
\( \sin^2 \theta + \sin (\theta) - 1 = 0 \)
Resuelve la ecuación cuadrática anterior para obtener las soluciones
\( \sin (\theta')=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \approx 0.61803\) y \( \quad \sin (\theta")=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \approx -1.61803 \)
La ecuación \( \quad \sin (\theta") \approx -1.61803 \) no tiene solución.
Por lo tanto, la solución general en el cuadrante (I) es \( \theta' = \arcsin (0.61803) + 2 n \pi \)
lo que da \( \theta_2 = 0.61803 \)
\( A_1 \) y \( A_2 \) se pueden escribir como
\[ A_1 = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{0.61803} \; \sin^2(\theta) \; d\theta \]
\[ A_2 = \dfrac{1}{2}\int_{0.61803}^{\frac{\pi}{2}} \; (0.5 (1+\cos ( 2\theta)))^2 \; d\theta \]
Usa la identidad \( \sin^2 \theta = \dfrac{1}{2} (1 - cos(2\theta) )\) en \( A_1 \) y simplifica
\[ A_1 = \dfrac{1}{4}\int_{0}^{0.61803} \; (1 - cos(2\theta) ) \; d\theta \]
Evalúa \( A_1 \)
\[ A_1 = \dfrac{1}{4}[\theta -\dfrac{1}{2}\sin (2\theta) ]_{0}^{0.61803} \approx 0.03644625 \]
Expande el integrando en \( A_2 \)
\[ A_2 = \dfrac{1}{2}\int_{0.61803}^{\frac{\pi}{2}} \; 0.5^2 (1+\cos^2( 2\theta)+2 \cos (2\theta)) \; d\theta \]
Usa la identidad \( \cos^2 (2\theta) = \dfrac{1}{2} (1 + \cos(4\theta) )\) en \( A_2 \) y simplifica
\[ A_2 = \dfrac{0.5^2}{2}\int_{0.61803}^{\frac{\pi}{2}} \; (1+ \dfrac{1}{2} (1 + \cos(4\theta) ) + 2 \cos (2\theta)) \; d\theta \]
Evalúa \( A_2 \)
\[ \dfrac{0.5^2}{2} \left[ \frac{3}{2}\theta+\frac{1}{8}\sin (4 \theta )+\sin (2 \theta) \right]_{0.61803}^{\frac{\pi}{2}} \approx 0.050885\]
El área total \( A \) encerrada por las dos curvas es \( 2 (A_1 + A_2) \)
\[ A \approx 0.1746625 \]
Más Referencias y Enlaces
University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13 : 978-0134995540
Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13 : 978-0961408824
Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
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