Definición y cálculo de integrales impropias con límites de integración infinitos mediante ejemplos con soluciones detalladas y explicaciones. También se incluyen más ejercicios con soluciones.
Definición de Integrales Impropias con Intervalos Infinitos [1] [2]
Considere 3 tipos de integrales con intervalo(s) infinito(s)
1 - El Límite Superior de la Integral es Infinito
Una integral de la forma \( \int_a^{\infty} f(x) \; dx \) existe y es convergente si \[ \int_a^{b} f(x) \; dx \quad \text{existe para todo} \quad b \ge a \] y el límite
\[ \lim_{b \to \infty} \int_a^{b} f(x) \; dx \] existe y es finito.
Entonces escribimos
\[ \boxed{ \int_a^{\infty} f(x) \; dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^{b} f(x) \; dx } \]
2 - El Límite Inferior de la Integral es Infinito
Una integral de la forma \( \int_{-\infty}^a f(x) \; dx \) existe y es convergente si \[ \int_b^{a} f(x) \; dx \quad \text{existe para todo} \quad b \le a \] y el límite
\[ \lim_{b \to -\infty} \int_b^{a} f(x) \; dx \] existe y es finito.
Entonces escribimos
\[ \boxed{ \int_{-\infty}^a f(x) \; dx = \lim_{b \to -\infty} \int_b^{a} f(x) } \]
3 - Ambos Límites de la Integral son Infinitos
Una integral de la forma \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \; dx \) existe y es convergente si ambas
\( \int_{-\infty}^a f(x) \; dx \) y \( \int_a^{\infty} f(x) \; dx \) son convergentes
Entonces escribimos
\[ \boxed{ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \; dx = \int_{-\infty}^a f(x) \; dx + \int_a^{\infty} f(x) \; dx } \]
Nota que el intervalo de integración se divide en \( x = a \) y por lo tanto obtenemos la suma de dos integrales, cada una con un solo límite infinito.
Ejemplos y sus Soluciones
Ejemplo 1
Evalúe la integral dada a continuación si es posible.
\[ \int_1^{\infty}\; x \; dx \]
Solución al Ejemplo 1
La integral dada tiene el límite superior infinito y por definición en la parte (1) anterior, escribimos
\[ \int_1^{\infty}\; x \; dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^{b}\; x \; dx \]
Evalúe la integral \( \int_1^{b}\;x \; dx \)
\[ \int_1^{\infty}\; x \; dx = \lim_{b \to \infty} \left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_1^b = \lim_{b \to \infty} \left( \dfrac{b^2}{2} - \dfrac{1}{2} \right) \]
El límite \( \lim_{b \to \infty} (\dfrac{b^2}{2} - \dfrac{1}{2}) \) es infinito
Conclusión El límite es infinito y por lo tanto la integral impropia dada \( \int_1^{\infty}\; x \; dx \) es divergente.
Ejemplo 2
¿Es la integral a continuación convergente o divergente? Evalúela si es convergente.
\[ \int_1^{\infty}\; \dfrac{1}{x^2} \; dx \]
Solución al Ejemplo 2
La integral dada tiene el límite superior infinito y por definición en la parte (1) anterior, escribimos
\[ \int_1^{\infty}\; \dfrac{1}{x^2} \; dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^{b}\; \dfrac{1}{x^2} \; dx \]
Evalúe la integral \( \int_1^{b}\; \dfrac{1}{x^2} \; dx \)
\[ \int_1^{\infty}\; \dfrac{1}{x^2} \; dx = \lim_{b \to \infty} \left[-\dfrac{1}{x} \right]_1^b = \lim_{b \to \infty} (-\dfrac{1}{b} + 1) \]
límite \( \lim_{b \to \infty} (-\dfrac{1}{b} + 1) = 1 \) y por lo tanto
\[ \int_1^{\infty}\; \dfrac{1}{x^2} dx = 1 \]
Conclusión La integral impropia dada \( \int_1^{\infty}\; \dfrac{1}{x^2} \; dx \) es convergente.
Ejemplo 3
Evalúe la integral dada a continuación si es posible.
\[ \int_{-\infty}^0\; \dfrac{1}{\sqrt{2-3x}} \; dx \]
Solución al Ejemplo 3
La integral dada tiene el límite inferior infinito y por definición en la parte (2) anterior, escribimos
\[ \int_{-\infty}^0 \; \dfrac{1}{\sqrt{2-3x}} \; dx = \lim_{b \to -\infty} \int_{b}^{0}\; \dfrac{1}{\sqrt{2-3x}} \; dx \]
Evalúe la integral \( \int_{b}^{0}\; \dfrac{1}{\sqrt{2-3x}} \; dx \)
\begin{align}
&\int_{-\infty}^0\; \dfrac{1}{\sqrt{2-3x}} \; dx = \lim_{b \to -\infty} \left[ -\frac{2}{3}\sqrt{2-3x} \right]_b^0 \\[15pt]
& = \lim_{b \to -\infty} \left(-\frac{2}{3}\sqrt{2} + \frac{2}{3}\sqrt{2-3b} \right)
\end{align}
Evalúe el límite anterior para obtener
\[ \lim_{b \to -\infty} \left(-\frac{2}{3}\sqrt{2} + \frac{2}{3}\sqrt{2-3b} \right) = -\frac{2}{3}\sqrt{2} + \infty = \infty \]
El límite es infinito y por lo tanto la integral impropia dada \( \int_{-\infty}^0\; \dfrac{1}{\sqrt{2-3x}} \; dx \) es divergente.
Ejemplo 4
Evalúe la integral dada a continuación si es posible.
\[ \int_{-\infty}^{\infty}\; x^5 e^{-x^6} \; dx \]
Solución al Ejemplo 4
La integral dada tiene ambos límites, inferior y superior, infinitos y por definición en la parte (3) anterior, dividimos la integral de la siguiente manera
\[ \int_{-\infty}^{\infty}\; x^5 e^{-x^6} \; dx = \int_{-\infty}^{0}\; x^5 e^{-x^6} \; dx + \int_{0}^{\infty}\; x^5 e^{-x^6} \; dx \qquad (I)\]
Nota los límites de integración se dividieron en \( x = 0 \) porque esto facilita los cálculos. Se podrían seleccionar otros valores para dividir el límite de integración y eso no cambiaría el resultado.
Escriba lo anterior como
\[ \int_{-\infty}^{\infty}\; x^5 e^{-x^6} \; dx = I_1 + I_2 \qquad (II)\]
donde \( I_1 = \int_{-\infty}^{0}\; x^5 e^{-x^6} \; dx \) y \( I_2 = \int_0^{\infty}\; x^5 e^{-x^6} \; dx \)
Evalúe la integral indefinida \( \int x^5 e^{-x^6} \; dx \) usando el método de sustitución
Sea \( u = x^6 \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 6 x^5 \) que también da \( dx = \dfrac{1}{6 x^5} \; du \); sustituya y simplifique para obtener
\( \int x^5 e^{-x^6} \; dx = \dfrac{1}{6} \int e^{-u} \; du = - \dfrac{1}{6} e^{-x^6} + c \) , donde \( c \) es la constante de integración.
Ahora evaluamos las dos integrales a la derecha de (II) anterior
\begin{align}
& I_1 = \int_{-\infty}^{0}\; x^5 e^{-x^6} \; dx = \lim_{b \to -\infty} \left[- \dfrac{1}{6} e^{-x^6} \right]_b^0 \\[15pt]
& = \lim_{b \to -\infty} \left(-\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} e^{-b^6} \right) \\[15pt]
& = - \dfrac{1}{6}
\end{align}
\begin{align}
& I_2 = \int_0^{\infty}\; x^5 e^{-x^6} \; dx = \lim_{b \to \infty} \left[- \dfrac{1}{6} e^{-x^6} \right]_0^b \\[15pt]
& = \lim_{b \to \infty} \left(-\dfrac{1}{6} e^{-b^6} + \dfrac{1}{6} \right) \\[15pt]
& = \dfrac{1}{6}
\end{align}
La integral dada es convergente y se calcula usando (I) anterior sumando las dos integrales de la derecha que se calcularon anteriormente
\[ \int_{-\infty}^{\infty}\; x^5 e^{-x^6} \; dx = I_1 + I_2 = 0 \]
Ejemplo 5
¿Para qué valores de \( p \) es convergente la integral
\[ \int_{e}^{\infty}\; \dfrac{1}{x\:\left(\ln\:x\right)^{p+1}} \; dx \]
? Encuentre su valor en términos de \( p \) .
Solución al Ejemplo 5
La integral dada tiene el límite superior infinito y por definición en la parte (1) anterior, escribimos
\[ \int_{e}^{\infty}\; \dfrac{1}{x\:\left(\ln\:x\right)^{p+1}} \; dx = \lim_{b \to \infty} \int_e^{b}\; \dfrac{1}{x\:\left(\ln\:x\right)^{p+1}} \; dx \qquad (I)\]
Sea \( u = \ln\:x \) , que da \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \) y también \( dx = x \: du \)
Sustituya y simplifique la integral indefinida
\[ \int \dfrac{1}{x\:\left(\ln\:x\right)^{p+1}} \; dx = \int \dfrac{1} {u^{p+1}} \; du \]
Evalúe la integral de la derecha
\[ \int \dfrac{1}{x\:\left(\ln x \right)^{p+1}} \; dx = \int u^{-p-1} \; du = - \left(\dfrac{1}{p}\right) u^{-p} + c \]
donde \( c \) es la constante de integración
Sustituya de nuevo \( u = \ln\:x \)
\[ \int \dfrac{1}{x\:\left(\ln x \right)^{p+1}} \; du = - \dfrac{1}{p} (\ln x)^{-p} + c \]
Evalúe (I) anterior
\begin{align}
& \int_{e}^{\infty}\; \dfrac{1}{x\:\left(\ln\:x\right)^{p+1}} \; dx = \lim_{b \to \infty} \left[ - \dfrac{1}{p} (\ln x)^{-p} \right]_e^b \\[15pt]
& = \lim_{b \to \infty} \left[ - \dfrac{1}{p} (\ln b)^{-p} + \dfrac{1}{p} (\ln e)^{-p} \right] \\[15pt]
& = - \lim_{b \to \infty} \dfrac{1}{p} (\ln b)^{-p} + \dfrac{1}{p} (\ln e)^{-p} \\[15pt]
& \text{Simplifique el término \( \dfrac{1}{p} (\ln e)^{-p} \) } \\[15pt]
& = - \lim_{b \to \infty} \dfrac{1}{p} (\ln b)^{-p} + \dfrac{1}{p}
\end{align}
Para \( p =0 \), lo anterior no está definido
Para \( p \lt 0 \), \( - \lim_{b \to \infty} \dfrac{1}{p} (\ln b)^{-p} = \infty \)
Para \( p \gt 0 \), \( - \lim_{b \to \infty} \dfrac{1}{p} (\ln b)^{-p} = 0 \)
Por lo tanto, la integral dada es convergente para \( p \gt 0 \) y está dada por
\[ \boxed {\int_{e}^{\infty}\; \dfrac{1}{x\:\left(\ln\:x\right)^{p+1}} \; dx = \dfrac{1}{p} \quad \text{ para } p \; \gt 0 } \]
Ejercicios
Evalúe cada una de las siguientes integrales si es posible.