Defina y calcule integrales impropias con límites de integración infinitos mediante ejemplos con soluciones detalladas y explicaciones. También se incluyen más ejercicios con soluciones .
Definición de Integrales Improperias con Intervalos Infinitos [1] [2]
Considere 3 tipos de integral con intervalo(s) infinito(s)
1 - El Límite Superior de la Integral es Infinito
Una integral de la forma \( \displaystyle \int_a^{\infty} f(x) \; dx \) existe y es convergente si \[ \displaystyle \int_a^{b} f(x) \; dx \quad \text{existe para todo} \quad b \ge a \] y el límite
\[ \lim_{b \to \infty} \displaystyle \int_a^{b} f(x) \; dx \] existe y es finito.
Entonces escribimos
\[ \boxed{ \displaystyle \int_a^{\infty} f(x) \; dx = \lim_{b \to \infty} \displaystyle \int_a^{b} f(x) \; dx } \]
2 - El Límite Inferior de la Integral es Infinito
Una integral de la forma \( \displaystyle \int_{-\infty}^a f(x) \; dx \) existe y es convergente si \[ \displaystyle \int_b^{a} f(x) \; dx \quad \text{existe para todo} \quad b \le a \] y el límite
\[ \lim_{b \to -\infty} \displaystyle \int_b^{a} f(x) \; dx \] existe y es finito.
Entonces escribimos
\[ \boxed{ \displaystyle \int_{-\infty}^a f(x) \; dx = \lim_{b \to -\infty} \displaystyle \int_b^{a} f(x) } \]
3 - Ambos Límites de la Integral son Infinitos
Una integral de la forma \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \; dx \) existe y es convergente si ambos
\( \displaystyle \int_{-\infty}^a f(x) \; dx \) y \( \displaystyle \int_a^{\infty} f(x) \; dx \) son convergentes
Entonces escribimos
\[ \boxed{ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \; dx = \displaystyle \int_{-\infty}^a f(x) \; dx + \displaystyle \int_a^{\infty} f(x) \; dx } \]
Nota que el intervalo de integración se divide en \( x = a \) y por lo tanto obtenemos la suma de dos integrales, donde cada integral tiene solo un límite infinito.
Ejemplos y Sus Soluciones
Ejemplo 1
Evalúe la integral dada si es posible.
\[ \displaystyle \int_1^{\infty}\; x \; dx \]
Solución al Ejemplo 1
La integral dada tiene el límite superior infinito y por definición en la parte (1) anterior, escribimos
\[ \displaystyle \int_1^{\infty}\; x \; dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^{b}\; x \; dx \]
El límite \( \displaystyle \lim_{b \to \infty} (\dfrac{b^2}{2} - \dfrac{1}{2}) \) es infinito
Conclusión El límite es infinito y por lo tanto la integral impropia dada \( \displaystyle \int_1^{\infty}\; x \; dx \) es divergente.
Ejemplo 2
¿La siguiente integral es convergente o divergente? Evalúela si es convergente.
\[ \displaystyle \int_1^{\infty}\; \dfrac{1}{x^2} \; dx \]
Solución al Ejemplo 2
La integral dada tiene el límite superior infinito y por definición en la parte (1) anterior, escribimos
\[ \displaystyle \int_1^{\infty}\; \dfrac{1}{x^2} \; dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^{b}\; \dfrac{1}{x^2} \; dx \]
El límite \( \displaystyle \lim_{b \to \infty} (-\dfrac{1}{b} + 1) = 1 \) y por lo tanto
\[ \displaystyle \int_1^{\infty}\; \dfrac{1}{x^2} dx = 1 \]
Conclusión La integral impropia dada \( \displaystyle \int_1^{\infty}\; \dfrac{1}{x^2} \; dx \) es convergente.
Ejemplo 3
Evalúe la integral dada si es posible.
\[ \displaystyle \int_{-\infty}^0\; \dfrac{1}{\sqrt{2-3x}} \; dx \]
Solución al Ejemplo 3
La integral dada tiene el límite inferior infinito y por definición en la parte (2) anterior, escribimos
\[ \displaystyle \int_{-\infty}^0 \; \dfrac{1}{\sqrt{2-3x}} \; dx = \lim_{b \to -\infty} \int_{b}^{0}\; \dfrac{1}{\sqrt{2-3x}} \; dx \]
Evaluamos el límite anterior para obtener
\[ \displaystyle \lim_{b \to -\infty} \left(-\frac{2}{3}\sqrt{2} + \frac{2}{3}\sqrt{2-3b} \right) = -\frac{2}{3}\sqrt{2} + \infty = \infty \]
El límite es infinito y por lo tanto la integral impropia dada \( \displaystyle \int_{-\infty}^0\; \dfrac{1}{\sqrt{2-3x}} \; dx \) es divergente.
Ejemplo 4
Evalúe la integral dada si es posible.
\[ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\; x^5 e^{-x^6} \; dx \]
Solución al Ejemplo 4
La integral dada tiene tanto el límite inferior como el superior infinitos y por definición en la parte (3) anterior, dividimos la integral de la siguiente manera
\[ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\; x^5 e^{-x^6} \; dx = \int_{-\infty}^{0}\; x^5 e^{-x^6} \; dx + \int_{0}^{\infty}\; x^5 e^{-x^6} \; dx \qquad (I)\]
Nota los límites de integración se dividieron en \( x = 0 \) porque esto facilita los cálculos. Se podrían seleccionar otros valores para dividir el límite de integración y eso no cambiaría el resultado.
Evaluamos la integral indefinida \( \displaystyle \int x^5 e^{-x^6} \; dx \) usando el método de sustitución
Sea \( u = x^6 \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 6 x^5 \) lo que también da \( dx = \dfrac{1}{6 x^5} \; du \); sustituimos y simplificamos para obtener
\( \displaystyle \int x^5 e^{-x^6} \; dx = \dfrac{1}{6} \int e^{-u} \; du = - \dfrac{1}{6} e^{-x^6} + c \) , donde \( c \) es la constante de integración.
Ahora evaluamos las dos integrales a la derecha de (II) anterior
Ejemplo 5
¿Para qué valores de \( p \) es convergente la integral
\[ \displaystyle \int_{e}^{\infty}\; \dfrac{1}{x\:\left(\ln\:x\right)^{p+1}} \; dx \]
? Encuentre su valor en términos de \( p \) .
Solución al Ejemplo 5
La integral dada tiene el límite superior infinito y por definición en la parte (1) anterior, escribimos
\[ \displaystyle \int_{e}^{\infty}\; \dfrac{1}{x\:\left(\ln\:x\right)^{p+1}} \; dx = \lim_{b \to \infty} \int_e^{b}\; \dfrac{1}{x\:\left(\ln\:x\right)^{p+1}} \; dx \qquad (I)\]
Sea \( u = \ln\:x \) , lo que da \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \) y también \( dx = x \: du \)
Sustituimos y simplificamos la integral indefinida
\[ \int \dfrac{1}{x\:\left(\ln\:x\right)^{p+1}} \; dx = \int \dfrac{1} {u^{p+1}} \; du \]
Evaluamos la integral a la derecha
\[ \int \dfrac{1}{x\:\left(\ln x\right)^{p+1}} \; dx = \int \dfrac{1} {u^{p+1}} \; du = \int u^{-p-1} \; du = - \dfrac{u^{-p}}{-p} + c \]
\[ = \dfrac{\ln x^{-p}}{p} + c \]
\[ = \dfrac{-\ln x^{-p}}{p} + c \]
\[ = \dfrac{\ln x^{p}}{p} + c \]
