Evaluar la integral
\[ \int |x| \; dx \]
Reescribir como
\[ \int |x| \; dx = \int 1 \cdot |x| \; dx \quad (I) \]
Observa que \( |x| = \sqrt {x^2} \) y por lo tanto \( \dfrac{d(|x|)}{dx} = \dfrac{d( \sqrt {x^2})}{dx} = \dfrac{x}{\sqrt {x^2}} = \dfrac{x}{|x|} \quad (II) \)
Aplicamos la integración por partes: \( \displaystyle \int u' v \; dx = u v - \int u v' \; dx \) a la integral del lado derecho de (I) arriba.
Sea \( u' = 1 \) , \( v = |x| \) lo que da \( u = x \) y \( v' = \dfrac{x}{|x|} \) , ve (II) arriba.
Sustituimos todo lo anterior en la fórmula de la integración por partes dada arriba.
\[ = x |x| - \int x \dfrac{x}{|x|} dx \quad (III)\]
Multiplicamos el numerador y el denominador del integrando \( x \dfrac{x}{|x|} \) en la integral anterior
\[ x \dfrac{x}{|x|} = x \dfrac{x}{|x|} \dfrac{|x|}{|x|} \]
Simplificamos notando que \( |x| |x| = x^2 \)
\[ = |x| \]
Ahora sustituimos el integrando \( x \dfrac{x}{|x|} \) en (III) por \( |x| \) y escribimos
\[ \int |x| dx = x |x| - \int |x| dx \]
Sumamos \( \displaystyle \int |x| dx \) a ambos lados
\[ \int |x| dx + \int |x| dx = x |x| - \int |x| dx + \int |x| dx \]
Simplificamos agrupando
\[ 2 \int |x| \; dx = x |x| \]
La respuesta final es dada por
\[ \boxed {\int |x| \; dx = \dfrac{1}{2} x |x| } \]
