Integración por Sustitución

Tutoriales con ejemplos y soluciones detalladas, y ejercicios con respuestas sobre cómo utilizar la poderosa técnica de integración por sustitución para encontrar integrales.

Revisión de la Integración por Sustitución

El método de integración por sustitución se puede usar para calcular fácilmente integrales complejas. Examinemos una integral de la forma Integral por Sustitución

Hagamos la sustitución \( u = g(x) \), entonces \( \dfrac{du}{dx} = g'(x) \) y \( du = g'(x) dx \)
Con la sustitución anterior, la integral dada es Fórmula de Integral por Sustitución

En lo que sigue, \( C \) es una constante de integración que se agrega al resultado final.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcular la integral \[ \int \sin(ax + b) \, dx \]

Solución del Ejemplo 1:
Sea \( u = ax + b \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = a \) o \( dx = \dfrac{1}{a} du \). La sustitución ayuda a calcular la integral de la siguiente manera
\( \displaystyle \int \sin(ax + b) \, dx\)
\( = \dfrac{1}{a} \int \sin(u) \, du \)
\( = -\dfrac{1}{a} \cos(u) + C \)
\( = -\dfrac{1}{a} \cos(ax + b) + C\)

Ejemplo 2

Calcular la integral \[ \int e^{3x - 2} \, dx \]

Solución del Ejemplo 2:
Sea \( u = 3x - 2 \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 3 \) o \( dx = \dfrac{1}{3} du \). Por lo tanto
\( \displaystyle \int e^{3x - 2} \, dx\)
\( = \displaystyle \int e^{u} \cdot \dfrac{1}{3} \, du \)
\( = \dfrac{1}{3} e^{u} \)
\( = \dfrac{1}{3} e^{3x - 2} + C\)

Ejemplo 3

Calcular la integral \[ \int x (2x^2 + 5)^4 \, dx \]

Solución del Ejemplo 3:
Sea \( u = 2x^2 + 5 \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 4x \), \( du = 4x \, dx \), \( \dfrac{1}{4} du = x \, dx \). La sustitución da
\( \displaystyle \int x (2x^2 + 5)^4 \, dx\)
\( = \displaystyle \int \dfrac{1}{4} u^4 \, du \)
\( = \dfrac{1}{20} u^5 \)
\( = \dfrac{1}{20} (2x^2 + 5)^5 + C \)

Ejemplo 4

Calcular la integral \[ \int x \sqrt{2x + 1} \, dx \]

Solución del Ejemplo 4:
Sea \( u = 2x + 1 \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 2 \) y \( dx = \dfrac{1}{2} du \). Resolver \( u = 2x + 1 \) para \( x \) para obtener \( x = \dfrac{1}{2}(u - 1) \). La sustitución da
\( \displaystyle \int x \sqrt{2x + 1} \, dx\)
\( = \displaystyle \int \dfrac{1}{2}(u - 1) \sqrt{u} \cdot \dfrac{1}{2} \, du \)
\( = \dfrac{1}{4} \int (u - 1) u^{1/2} \, du \)
\( = \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{2}{5} u^{5/2} - \dfrac{2}{3} u^{3/2} \right) \)
\( = \dfrac{(2x + 1)^{3/2}(3x - 1)}{15} + C \)

Ejemplo 5

Calcular la integral \[ \int (x - 5)^{-4} \, dx \]

Solución del Ejemplo 5:
Sea \( u = x - 5 \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 1 \). Sustituyendo en la integral dada, obtenemos
\( \displaystyle \int (x - 5)^{-4} \, dx\)
\( = \displaystyle \int u^{-4} \, du \)
\( = -\dfrac{1}{3} u^{-3} \)
\( = -\dfrac{1}{3}(x - 5)^{-3} + C \)

Ejemplo 6

Evaluar la integral \[ \int -x e^{x^2 + 2} \, dx \]

Solución del Ejemplo 6:
Sea \( u = x^2 + 2 \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 2x \) y \( \dfrac{1}{2} du = x \, dx \). Una sustitución en la integral dada da
\( \displaystyle \int -x e^{x^2 + 2} \, dx\)
\( = \displaystyle \int - e^{u} \cdot \dfrac{1}{2} \, du \)
\( = -\dfrac{1}{2} \int e^{u} \, du \)
\( = -\dfrac{1}{2} e^{u} \)
\( = -\dfrac{1}{2} e^{x^2 + 2} + C \)

Ejemplo 7

Evaluar la integral
\[ \int \cos(x) \sin^4(x) \, dx \]

Solución del Ejemplo 7:
Sea \( u = \sin(x) \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = \cos(x) \) o \( \cos(x) \, dx = du \). Sustituyendo en la integral obtenemos
\( \displaystyle \int \cos(x) \sin^4(x) \, dx\)
\( = \displaystyle \int u^4 \, du \)
\( = \dfrac{1}{5} u^5 \)
\( = \dfrac{1}{5} \sin^5(x) + C \)

Ejemplo 8

Evaluar la integral \[ \int \dfrac{3x}{4x + 1} \, dx \]

Solución del Ejemplo 8:
Sea \( u = 4x + 1 \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 4 \) o \( dx = \dfrac{1}{4} du \). Resolver \( u = 4x + 1 \) para \( x \) para obtener \( x = \dfrac{1}{4}(u - 1) \). Sustituyendo obtenemos
\( \displaystyle \int \dfrac{3x}{4x + 1} \, dx\)
\( = \displaystyle \int 3 \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{u - 1}{u} \, du \)
\( = \dfrac{3}{16} \displaystyle \int \dfrac{u - 1}{u} \, du \)
\( = \dfrac{3}{16} \displaystyle \int \left( 1 - \dfrac{1}{u} \right) \, du \)
\( = \dfrac{3}{16}(u - \ln|u|) \)
\( = \dfrac{3}{16}(4x + 1 - \ln|4x + 1|) + C \)

Ejemplo 9

Evaluar la integral \[ \int \dfrac{x}{\sqrt{x - 2}} \, dx \]

Solución del Ejemplo 9:
Sea \( u = x - 2 \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 1 \), \( dx = du \) y \( x = u + 2 \). Sustituyendo
\( \displaystyle \int \dfrac{x}{\sqrt{x - 2}} \, dx\)
\( = \displaystyle \int \dfrac{u+2}{\sqrt{u}} \, dx \)
\( = \int (u^{1/2} + 2u^{-1/2}) \, dx \)
\( = \dfrac{2}{3}u^{3/2} + 4 \sqrt{u} \)
\( = \dfrac{2}{3}(x - 2)^{3/2} + 4 \sqrt{x - 2} + C \)

Ejemplo 10

Evaluar la integral \[ \int (x + 2)^3(x + 4)^2 \, dx \]

Solución del Ejemplo 10:
Sea \( u = x + 2 \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 1 \), \( dx = du \) y también \( x = u - 2 \). Usando la sustitución anterior obtenemos
\( \displaystyle \int (x + 2)^3(x + 4)^2 \, dx\)
\( = \displaystyle \int u^3(u + 4)^2 \, du \)
\( = \displaystyle \int (u^5 + 4u^4 + 4u^3) \, du \)
\( = \dfrac{1}{6} u^6 + \dfrac{4}{5}u^5 + u^4 \)
\( = \dfrac{1}{6}(x + 2)^6 + \dfrac{4}{5}(x + 2)^5 + (x + 2)^4 + C \)

Ejemplo 11

Evaluar la integral \[ \int \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x + 1} \, dx \]

Solución del Ejemplo 11:
Sea \( u = x^2 + 3x + 1 \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 2x + 3 \) o \( (2x + 3) \, dx = du \). La sustitución ayuda a calcular la integral de la siguiente manera
\(\displaystyle \int \dfrac{1}{u} \, du\)
\( = \ln|u| \)
\( = \ln |x^2 + 3x + 1| + C \)

Ejercicios

Usa la tabla de integrales y el método de integración por partes para encontrar las siguientes integrales. [Nota que puedes necesitar usar el método de integración por partes más de una vez].
1. \(\displaystyle \int \cos(3x - 2) \, dx\)
2. \(\displaystyle \int e^{4x - 7} \, dx\)
3. \( \displaystyle \int x(4x^2 + 5)^4 \, dx\)
4. \( \displaystyle \int \dfrac{1}{(x + 3)^3} \, dx\)

Respuestas a los ejercicios anteriores

1. \( \dfrac{1}{3} \sin(3x - 2) \)
2. \( \dfrac{1}{4} e^{4x - 7} + C \)
3. \( \dfrac{1}{40} (4x^2 + 5)^5 + C \)
4. \( -\dfrac{1}{2} \dfrac{1}{(x + 3)^2} + C \)

Más Referencias y Enlaces

Integrales y sus aplicaciones en cálculo.