¿Cómo se descompone una función racional \( \dfrac{P(x)}{Q(x)} \) en fracciones parciales?
1 - Factoriza completamente el polinomio \( Q(x) \) en el denominador de la función racional anterior en factores de la forma
\[ (ax + b)^m \text{y} (a x^2 + b x + c )^n \]
Ejemplo
Sea \( f(x) = \dfrac{2x-1}{x^3 + 2x^2 + 4x} \)
El denominador se factoriza de la siguiente manera
\( x^3 + 2x^2 + 4x = x (x^2 + 2x + 4) \)
El término cuadrático \( x^2 + 2 x + 4 \) es irreducible (no puede ser factorizado) sobre los reales.
2 - Para cada factor de la forma \( (ax + b)^m \), la descomposición incluye la siguiente suma de fracciones
\( \dfrac{C_1}{ax + b}+\dfrac{C_2}{(ax + b)^2}+...+\dfrac{C_m}{(ax + b)^m} \)
Ejemplo
La fracción \( \dfrac{2}{(x-2)^3} \) se descompone como
3 - Para cada factor de la forma \( (a x^2 + b x + c)^n \), la descomposición incluye la siguiente suma de fracciones
\( \dfrac{A_1 x + B_1}{a x^2 + b x + c} + \dfrac{A_2 x + B_2}{(a x^2 + b x + c)^2} + ... + \dfrac{A_n x + B_n}{a x^2 + b x + c)^n} \)
Ejemplos con Soluciones Detalladas
Ejemplo 1
Descomponer en fracciones parciales
\[ \dfrac{2 x + 5}{x^2-x-2} \]
Solución del Ejemplo 1:
Comenzamos factorizando el denominador
\( x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \)
Ambos factores son lineales, con potencia \( 1\) cada uno, por lo tanto, la fracción dada se descompone de la siguiente manera
\( \dfrac{2 x + 5}{x^2-x-2}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x+1} \)
Multiplicamos ambos lados de la ecuación anterior por el denominador común mínimo, \( (x - 2)(x + 1) \), y simplificamos para obtener una ecuación de la forma
\( 2 x+5 = A(x + 1) + B(x - 2) \)
Expandimos el lado derecho y agrupamos términos semejantes
\( 2 x + 5 = x (A + B) + A - 2 B \)
Para que los polinomios de la derecha e izquierda sean iguales, necesitamos tener
\( 2 = A + B \) y \( 5 = A - 2 B \)
Resolvemos el sistema anterior para obtener
\( A = 3 \) y \( B = -1 \)
Sustituimos \( A \) y \( B \) en la descomposición sugerida anteriormente para obtener
\( \dfrac{2 x + 5}{x^2-x-2}=\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{1}{x+1} \)
Como ejercicio, agrupamos términos en el lado derecho para obtener el lado izquierdo
Ejemplo 2
Descomponer en fracciones parciales
\[ \dfrac{1-2 x}{x^2+2x+1} \]
Solución del Ejemplo 2:
Comenzamos factorizando el denominador
\( x^2 + 2 x + 1 = (x + 1)^2\)
Usando la regla anterior, la fracción dada se descompone de la siguiente manera
Multiplicamos ambos lados de la ecuación anterior por \( (x + 1)^2 \), y simplificamos para obtener una ecuación de la forma
\( 1 - 2 x = A(x + 1) + B \)
Expandimos el lado derecho y agrupamos términos semejantes
\( -2x + 1 = A x + (A + B) \)
Para que los polinomios de la derecha e izquierda sean iguales, necesitamos tener
\( - 2 = A \) y \( 1 = A + B \)
Resolvemos el sistema anterior para obtener
\( A = - 2 \) y \( B = 3 \)
Sustituimos \( A \) y \( B \) en la descomposición sugerida anteriormente para obtener
Multiplicamos ambos lados de la ecuación anterior por \( (x - 2)(x^2 + 2 x + 3) \), y simplificamos para obtener una ecuación de la forma
\( 4 x^2 - x + 8 = A(x^2 + 2 x + 3) + (B x + C)(x - 2) \)
La igualdad anterior es verdadera para todos los valores de \( x \), usemos \( x = 2 \) para obtener una ecuación en \( A \)
\( 22 = 11 A \)
Resolvemos para \( A \) para obtener
\( A = 2 \)
Para encontrar \( C \), usamos \( x = 0 \) en la igualdad anterior
\( 8 = 6 - 2 C \)
Resolvemos para \( C \) para obtener
\( C = -1 \)
Para encontrar \( B \), ahora usamos \( x = 1 \) en la igualdad anterior
\( 11 = 12 + (B - 1)(1 - 2) \)
Resolvemos para \( B \) para obtener
\( B = 2 \)
La fracción dada se puede descomponer de la siguiente manera
\[ \dfrac{4x^2-x+8}{(x-2)(x^2+2x+3)}=\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{2 x-1}{x^2+2x+3} \]
Preguntas
Descomponga las siguientes fracciones en fracciones parciales.
1. \( \dfrac{-x+10}{x^2+x-2} \)
2. \( \dfrac{2 x - 3}{(x-3)^2} \)
3. \( \dfrac{-3 x - 24}{(x+4)(x^2+5x+10)} \)
Soluciones a los Ejercicios Anteriores
1. Factorice el denominador: \( x^2+x-2 = (x - 1)(x + 2) \)
Por lo tanto, de acuerdo con las reglas, la descomposición se escribe como: \( \dfrac{-x+10}{x^2+x-2} = \dfrac
{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+2} \)
Use valores numéricos para \( x \) y un sistema de dos ecuaciones con incógnitas \( A \) y \( B \) luego resuelva para obtener
\( \dfrac{3}{x-1}-\dfrac{4}{x+2} \)
2. El denominador ya está en forma factorizada.
Por lo tanto, de acuerdo con las reglas, la descomposición se escribe como: \( \dfrac{2 x - 3}{(x-3)^2} = \dfrac{A}{x-3} + \dfrac{B }{(x-3)^2} \)
Use valores numéricos para \( x \) y un sistema de dos ecuaciones con incógnitas \( A \) y \( B \) luego resuelva para obtener
\( \dfrac{2}{x-3}+\dfrac{3}{(x-3)^2} \)
3. La expresión \( x^2+5x+10 \) en el denominador no puede ser factorizada sobre los números reales porque su discriminante \( \Delta = 5^2 - 4(1)(10) = -25 \) es negativo y, por lo tanto, el denominador está en forma factorizada.
Se utiliza las reglas de la descomposición para escribir la descomposición como: \( \dfrac{-3 x - 24}{(x+4)(x^2+5x+10)} = \dfrac{A}{x+4} + \dfrac{B x + C }{x^2+5x+10} \)
Use valores numéricos para \( x \) y un sistema de tres ecuaciones con incógnitas \( A \), \( B \) y \( C \) luego resuelva para obtener
\( -\dfrac{2}{x+4}+\dfrac{2 x-1}{x^2+5x+10} \)
Más Referencias y Enlaces
Cálculo Universitario - Trascendentes Tempranas - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13 ? : ? 978-0134995540
Cálculo - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13 ? : ? 978-0961408824
Cálculo - Trascendentes Tempranas - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
calculadora en línea de descomposición en fracciones parciales
