Integrales de Funciones Racionales por Fracciones Parciales
Calcule integrales de funciones racionales usando descomposición en fracciones parciales:
Ejemplos y soluciones detalladas, más preguntas y sus soluciones están incluidas. También se incluyen ejemplos con grado del numerador mayor o igual al grado del denominador.
En lo que sigue, C es la constante de integración.
Una calculadora en línea de descomposición en fracciones parciales puede usarse para descomponer funciones racionales.
Ejemplos con Soluciones
Ejemplo 1
Evalúe la integral
\[
\int \dfrac{-5x + 11}{x^2+x-2} dx
\]
Solución al Ejemplo 1:
Usamos descomposición en fracciones parciales para descomponer el integrando en fracciones más simples.
\[
\dfrac{-5x + 11}{x^2+x-2} = \dfrac{2}{x-1} - \dfrac{7}{x+2}
\]
Ahora usamos tabla de integrales para integrar
\[
\int \dfrac{-5x + 11}{x^2+x-2} dx = \int \dfrac{2}{x-1} dx - \int \dfrac{7}{x+2} dx \]
\[ = 2 \ln|x - 1| - 7 \ln|x+2| + C
\]
Ejemplo 2
Evalúe la integral
\[
\displaystyle \int \dfrac{x^2+6x - 3}{(x+3)(x^2+2x+9)} dx
\]
Solución al Ejemplo 2:
Una descomposición en fracciones parciales del integrando da
\[
\dfrac{x^2+6x - 3}{(x+3)(x^2+2x+9)} = \dfrac{2x+2}{x^2+2x+9} - \dfrac{1}{x+3}
\]
Ahora usamos una tabla de integrales para evaluar las integrales
\[
\displaystyle \int \dfrac{x^2+6x - 3}{(x+3)(x^2+2x+9)} dx = \int \dfrac{2x+2}{x^2+2x+9} dx - \int \dfrac{1}{x+3} dx \\
= \ln|x^2+2x+9| - \ln|x+3| + C
\]
Ejemplo 3
Evalúe la integral
\[
\displaystyle \int \dfrac{2x^3 + 10x^2 +11x}{x^2+5x+6} dx
\]
Solución al Ejemplo 3:
En este ejemplo el grado del numerador es mayor que el grado del denominador y por lo tanto se realiza una división del numerador por el denominador para escribir el integrando como sigue:
\[
\dfrac{2x^3 + 10x^2 +11x}{x^2+5x+6} = 2x - \dfrac{x}{x^2+5x+6}
\]
Una descomposición en fracciones parciales del término \( \dfrac{x}{x^2+5x+6} \) da
\[
\dfrac{2x^3 + 10x^2 +11x}{x^2+5x+6} = 2x - \dfrac{x}{x^2+5x+6} = 2x +\dfrac{2}{x+2}-\dfrac{3}{x+3}
\]
Usando lo anterior, la integral dada puede escribirse como
\[
\displaystyle \int \dfrac{2x^3 + 10x^2 +11x}{x^2+5x+6} dx = \int 2x dx +\int \dfrac{2}{x+2} dx - \int \dfrac{3}{x+3} dx
\]
Usando una tabla de integrales, evaluamos las integrales como sigue:
\[
= x^2 + 2 \ln|x+2| - 3 \ln|x+3| + C
\]
Preguntas
Evalúe las siguientes integrales.
1.
\(
\quad \displaystyle \int \dfrac{-x + 7}{x^2+x-2} dx
\)
2.
\(
\quad \displaystyle \int \dfrac{-8x^2 +23x - 5}{(x+7)(2x^2+x+2)} dx
\)
3.
\(
\quad \displaystyle \int \dfrac{x^4+3x^3+2x^2+7x+9}{x^2+3x+2} dx
\)
Soluciones a las Preguntas Anteriores
1.
Descomponga en fracción más simple: \[ \dfrac{-x + 7}{x^2+x-2} = \dfrac{2}{x-1} - \dfrac{3}{x+2} \]
Por lo tanto
\[
\int \dfrac{-x + 7}{x^2+x-2} dx = \int (\dfrac{2}{x-1} - \dfrac{3}{x+2}) dx \]
\[
= 2 \ln|x-1| - 3 \ln|x+2| + C
\]
2.
Descomponga en fracciones más simples: \[ \dfrac{-8x^2 +23x - 5}{(x+7)(2x^2+x+2)} = -\dfrac{6}{x+7} + \dfrac{4x+1}{2x^2+x+2} \]
Por lo tanto
\[ \int \dfrac{-8x^2 +23x - 5}{(x+7)(2x^2+x+2)} dx = \int (-\dfrac{6}{x+7} + \dfrac{4x+1}{2x^2+x+2}) dx \]
\[
\qquad = \ln|2x^2+x+2| - 6 \ln|x+7| + C
\]
3.
Descomponga en fracciones más simples: \[ \dfrac{x^4+3x^3+2x^2+7x+9}{x^2+3x+2} = x^2 + \dfrac{2}{x+1} + \dfrac{5}{x+2} \]
Por lo tanto
\[
\displaystyle \int \dfrac{x^4+3x^3+2x^2+7x+9}{x^2+3x+2} dx = \int (x^2 + \dfrac{2}{x+1} + \dfrac{5}{x+2}) dx
\]
\[
\qquad = \dfrac{x^3}{3}+2\ln |x+1|+5 \ln |x+2| + C
\]
Más referencias sobre
integrales y sus aplicaciones en cálculo.
calculadora en línea de descomposición en fracciones parciales
descomposición en fracciones parciales