Solución al Ejemplo 1:
Utilizamos la descomposición en fracciones parciales para descomponer el integrando en fracciones más simples.
\(
\dfrac{-5x + 11}{x^2+x-2} = \dfrac{2}{x-1} - \dfrac{7}{x+2}
\)
Solución al Ejemplo 2:
Una descomposición en fracciones parciales del integrando da
\(
\dfrac{x^2+6x - 3}{(x+3)(x^2+2x+9)} = \dfrac{2x+2}{x^2+2x+9} - \dfrac{1}{x+3}
\)
Ahora usamos una tabla de integrales para evaluar las integrales
\(
\displaystyle \int \dfrac{x^2+6x - 3}{(x+3)(x^2+2x+9)} dx = \int \dfrac{2x+2}{x^2+2x+9} dx - \int \dfrac{1}{x+3} dx \\
= \ln|x^2+2x+9| - \ln|x+3| + C
\)
Solución al Ejemplo 3:
En este ejemplo, el grado del numerador es mayor que el grado del denominador y, por lo tanto, se realiza una división del numerador por el denominador para escribir el integrando de la siguiente manera:
\(
\dfrac{2x^3 + 10x^2 +11x}{x^2+5x+6} = 2x - \dfrac{x}{x^2+5x+6}
\)
Una descomposición en fracciones parciales del término \( \dfrac{x}{x^2+5x+6} \) da
\(
\dfrac{2x^3 + 10x^2 +11x}{x^2+5x+6} = 2x - \dfrac{x}{x^2+5x+6} = 2x +\dfrac{2}{x+2}-\dfrac{3}{x+3}
\)
Usando lo anterior, la integral dada se puede escribir como
\(
\displaystyle \int \dfrac{2x^3 + 10x^2 +11x}{x^2+5x+6} dx = \int 2x dx +\int \dfrac{2}{x+2} dx - \int \dfrac{3}{x
+3} dx
\)
>Usando una tabla de integrales, evaluamos las integrales de la siguiente manera:
\(
= x^2 + 2 \ln|x+2| - 3 \ln|x+3| + C
\)
