Integrales Involucrando sin(x) y cos(x) con Potencias Impares
Tutorial para encontrar integrales que involucran el producto de potencias de \( \sin(x) \) y \( \cos(x) \) con una de las dos teniendo una potencia impar. Se incluyen ejemplos y ejercicios con soluciones.
Ejemplos con Soluciones Detalladas
En lo que sigue, C es la constante de integración.
Ejemplo 1
Evaluar la integral
\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) dx \]
Solución al Ejemplo 1:
La idea principal es reescribir la integral escribiendo el término con potencia impar como el producto de un término con potencia 1 y un término con potencia par.
Ejemplo: \( \sin^3(x) = \sin^2(x) \sin(x) \).
Por lo tanto, la integral dada puede escribirse de la siguiente manera:
\( \displaystyle \int \sin^3(x) \cos^2(x) dx = \int \sin^2(x) \cos^2(x) \sin(x) dx \)
Ahora usamos la identidad \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \) y reescribimos la integral dada de la siguiente manera:
\( \displaystyle \int \sin^3(x) \cos^2(x) dx = \int (1 - \cos^2(x)) \cos^2(x) \sin(x) dx \)
Ahora dejamos \( u = \cos(x) \), por lo tanto \( du/dx = -\sin(x) \) o \( -du = \sin(x)dx \) y sustituimos en la integral dada para obtener
\( \displaystyle \int \sin^3(x) \cos^2(x) dx = -\int (1 - u^2) u^2 du \)
Expandimos y calculamos la integral a la derecha
\( \displaystyle \int \sin^3(x) \cos^2(x) dx = \int (u^4 - u^2) du \)
\( = \dfrac{1}{5}u^5 - \dfrac{1}{3}u^3 + C \)
Sustituimos \( u \) por \( \cos(x) \) para obtener
\[ \displaystyle \int \sin^3(x) \cos^2(x) dx = \dfrac{1}{5}\cos^5(x) - \dfrac{1}{3}\cos^3(x) + C \]
Ejemplo 2
Evaluar la integral
\[ \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) dx \]
Solución al Ejemplo 2:
Reescribimos \( \cos^5(x) \) de la siguiente manera \( \cos^5(x) = \cos^4(x) \cos(x) \).
Por lo tanto, la integral dada puede escribirse de la siguiente manera:
\( \displaystyle \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) dx = \int \sin^{12}(x) \cos^4(x) \cos(x) dx \)
Ahora usamos la identidad \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \) para reescribir \( \cos^4(x) \) en términos de potencias de \( \sin(x) \) y reescribimos la integral dada de la siguiente manera:
\( \displaystyle \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) dx = \int \sin^{12}(x) (1 - \sin^2(x))^2 \cos(x) dx \)
Ahora dejamos \( u = \sin(x) \), por lo tanto \( du/dx = \cos(x) \) o \( du = \cos(x)dx \) y sustituimos en la integral dada para obtener
\( \displaystyle \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) dx = \int u^{12} (1 - u^2)^2 du \)
Expandimos y calculamos la integral a la derecha
\( \displaystyle \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) dx = \int (u^{16} - 2u^{14} + u^{12}) du \)
\( = \dfrac{1}{17}u^{17} - \dfrac{2}{15}u^{15} + \dfrac{1}{13}u^{13} + C \)
Sustituimos \( u \) por \( \sin(x) \) para obtener
\( \displaystyle \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) dx = \dfrac{
1}{17}\sin^{17}(x) - \dfrac{2}{15}\sin^{15}(x) + \dfrac{1}{13}\sin^{13}(x) + C \)
