Integrales que involucran sin(x) y cos(x) con potencia impar

Tutorial para encontrar integrales que involucran el producto de potencias de \( \sin(x) \) y \( \cos(x) \) cuando una de las dos tiene una potencia impar. Se incluyen ejemplos y ejercicios con soluciones.

Ejemplos con soluciones detalladas

En lo que sigue, C es la constante de integración.

Ejemplo 1

Evalúa la integral

\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) dx \]
Solución al Ejemplo 1:
La idea principal es reescribir la integral escribiendo el término con la potencia impar como el producto de un término con potencia 1 y un término con potencia par.
Ejemplo: \( \sin^3(x) = \sin^2(x) \sin(x) \).
Por lo tanto, la integral dada puede escribirse como: \[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) dx = \int \sin^2(x) \cos^2(x) \sin(x) dx \] Ahora usamos la identidad \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \) y reescribimos la integral dada como:
\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) dx = \int (1 - \cos^2(x)) \cos^2(x) \sin(x) dx \] Hacemos el cambio de variable \( u = \cos(x) \), de donde \( du/dx = -\sin(x) \) o \( -du = \sin(x)dx \) y sustituimos en la integral dada para obtener: \[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) dx = -\int (1 - u^2) u^2 du \] Expandimos y calculamos la integral del lado derecho: \[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) dx = \int (u^4 - u^2) du \] \[ = \dfrac{1}{5}u^5 - \dfrac{1}{3}u^3 + C \] Sustituimos \( u \) por \( \cos(x) \) para obtener: \[ \displaystyle \int \sin^3(x) \cos^2(x) dx = \dfrac{1}{5}\cos^5(x) - \dfrac{1}{3}\cos^3(x) + C \]

Ejemplo 2

Evalúa la integral

\[ \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) dx \] Solución al Ejemplo 2:
Reescribimos \( \cos^5(x) \) como \( \cos^5(x) = \cos^4(x) \cos(x) \).
Por lo tanto, la integral dada puede escribirse como: \[ \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) dx = \int \sin^{12}(x) \cos^4(x) \cos(x) dx \] Ahora usamos la identidad \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \) para reescribir \( \cos^4(x) \) en términos de potencias de \( \sin(x) \) y reescribimos la integral dada como: \[ \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) dx = \int \sin^{12}(x) (1 - \sin^2(x))^2 \cos(x) dx \] Hacemos el cambio de variable \( u = \sin(x) \), de donde \( du/dx = \cos(x) \) o \( du = \cos(x)dx \) y sustituimos en la integral dada para obtener: \[ \displaystyle \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) dx = \int u^{12} (1 - u^2)^2 du \] Expandimos y calculamos la integral del lado derecho: \[ \displaystyle \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) dx = \int (u^{16} - 2u^{14} + u^{12}) du \] \[ = \dfrac{1}{17}u^{17} - \dfrac{2}{15}u^{15} + \dfrac{1}{13}u^{13} + C \] Sustituimos \( u \) por \( \sin(x) \) para obtener: \[ \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) dx = \dfrac{1}{17}\sin^{17}(x) - \dfrac{2}{15}\sin^{15}(x) + \dfrac{1}{13}\sin^{13}(x) + C \]

Ejercicios

Evalúa las siguientes integrales.

  1. \( \displaystyle \int \cos^3(x) \sin^2(x) dx \)
  2. \( \displaystyle \int \sin^3(x) \cos^{14}(x) dx \)

Respuestas a los ejercicios anteriores

  1. \( -\dfrac{1}{5}\sin^5(x) + \dfrac{1}{3}\sin^3(x) \)
  2. \( \dfrac{1}{17}\cos^{17}(x) - \dfrac{1}{15}\cos^{15}(x) \)

Más referencias y enlaces

Integrales y sus aplicaciones en cálculo.