Integrales Involucrando \( \sin(x) \) con Potencia Impar
Tutorial para encontrar integrales que involucran potencias impares de \( \sin(x) \). Los ejercicios con respuestas están al final de la página.
Ejemplos con Soluciones Detalladas
En lo que sigue, \( C \) es la constante de integración.
Ejemplo 1
Evaluar la integral
\[ \int \sin^3(x) \, dx \]
Solución al Ejemplo 1:
La idea principal es reescribir la potencia de \( \sin(x) \) como el producto de un término con potencia 1 y un término con potencia par.
Ejemplo: \( \sin^3(x) = \sin^2(x) \sin(x) \). Por lo tanto, la integral dada se puede escribir de la siguiente manera:
\( \displaystyle \int \sin^3(x) \, dx = \int \sin^2(x) \sin(x) \, dx \)
Usamos la identidad: \( \sin^2 x = 1 - \cos^2(x) \) para escribir
\( \displaystyle \int \sin^3(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x)) \sin(x) \, dx \)
Ahora dejamos \( u = \cos(x) \), por lo tanto, \( \dfrac{du}{dx} = -\sin(x) \) o \( -du = \sin(x) \, dx \) y sustituimos en la integral dada para obtener
\( \displaystyle \int \sin^3(x) \, dx = - \int (1 - u^2) \, du \)
\( \displaystyle \int \sin^3(x) \, dx = \dfrac{1}{3} u^3 - u + C \)
Sustituimos \( u \) por \( \cos(x) \) para obtener
\[ \int \sin^3(x) \, dx = \dfrac{1}{3}\cos^3(x) - \cos(x) + C \]
Ejemplo 2
Evaluar la integral
\[ \int \sin^5(x) \, dx \]
Solución al Ejemplo 2:
Reescribimos \( \sin^5(x) \) de la siguiente manera \( \sin^5(x) = \sin^4(x) \sin(x) \). Por lo tanto, la integral dada se puede escribir de la siguiente manera:
\( \displaystyle \int \sin^5(x) \, dx = \int \sin^4(x) \sin(x) \, dx \)
Usamos la identidad \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \) para reescribir \( \sin^4(x) \) en términos de potencias de \( \cos(x) \) y reescribimos la integral dada de la siguiente manera:
\( \displaystyle \int \sin^5(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x))^2 \sin(x) \, dx \)
Ahora dejamos \( u = \cos(x) \), por lo tanto, \( \dfrac{du}{dx} = -\sin(x) \) o \( du = -\sin(x) \, dx \) y sustituimos en la integral dada para obtener
\( \displaystyle \int \sin^5(x) \, dx = - \int (1 - u^2)^2 \, du \)
Expandimos y calculamos la integral en el lado derecho
\( \displaystyle \int \sin^5(x) \, dx = - \int (u^4 - 2u^2 + 1) \, du \)
\( = -(\dfrac{1}{5}u^5 - \dfrac{2}{3}u^3 + u) + C \)
y finalmente
\[ \int \sin^5(x) \, dx = -(\dfrac{1}{5}\cos^5(x) - \dfrac{2}{3}\cos^3(x) + \cos(x)) + C \]