El mínimo absoluto y máximo de una función se estudian utilizando gráficos y ejemplos con soluciones detalladas. También se presentan soluciones gráficas a los ejemplos para comprender mejor el mínimo y máximo absoluto de una función dada.
Revisión del Mínimo y Máximo Absoluto de una Función
Definición: Los valores de x en el dominio de la función f en los que f '(x) = 0 o f '(x) no está definida se llaman puntos críticos
de la función f .
Teorema: Para una función continua en un intervalo cerrado [ a,b ], siempre existen valores x1 y x2 en [ a,b ] tales que f(x1) = m es un mínimo absoluto y f(x2) = M es un máximo absoluto o m ≤ f(x) ≤ M para cada x en [ a,b ].
Se discuten ejemplos sobre el máximo y mínimo absoluto de funciones en diferentes situaciones de manera gráfica.
Ejemplo 1 Mínimo y máximo absoluto en puntos estacionarios
El mínimo y máximo absoluto de una función pueden ocurrir en un mínimo y máximo local respectivamente, como se muestra en el gráfico a continuación. Los mínimos y máximos locales de una función ocurren en valores de x = x_0 incluidos en el dominio de f
tal que f '(x0) = 0 y f '(x) cambia de signo en x = x0. En el sistema de coordenadas a continuación se muestra la función f (azul) y su derivada (roja).
Podemos ver que f tiene un mínimo absoluto en x = x1 donde f '(x) = 0 y cambia de signo de negativo a positivo, y tiene un máximo absoluto en x = x2 donde f '(x2) = 0 cambia de signo de positivo a negativo.
Ejemplo 2 Mínimo y máximo absoluto en puntos donde la primera derivada no está definida
El mínimo y máximo absoluto de una función pueden ocurrir en puntos donde la primera derivada no está definida, como se muestra en el gráfico a continuación.
\( \) \( \) \( \) \( \)
Ejemplo 3 Mínimo y máximo absoluto en puntos finales
El mínimo y máximo absoluto de una función pueden ocurrir en los puntos finales del intervalo que define el dominio de la función.
En el siguiente ejemplo, \( f(x) = x^3 - 2x^2 \) para \( -1 \le x \le 5/2 \) donde \( -1 \) y \( 5/2 \) son los puntos finales del intervalo \( [-1,5/2] \) que define el dominio de la función. Nótese que aunque hay un mínimo local y un máximo local, no son mínimo y máximo absolutos.
Ejemplos con Soluciones Detalladas
Cómo encontrar el mínimo y máximo absoluto de una función \( f \):
Paso 1: Encuentra la primera derivada de la función \( f \)
Paso 2: Encuentra los puntos críticos de la función \( f \)
Paso 3: Evalúa \( f \) en todos los puntos finales y puntos críticos y toma los valores más pequeños (mínimo) y más grandes (máximo).
Ejemplo 4
Encuentra el máximo y mínimo absoluto de la función \( f \) definida por \( f(x) = - x^2 + 2 x -2 \;\; \text{en} \;\; [-2 , 3] \).
Solución del Ejemplo 4
Paso - 1: Encuentra la primera derivada de \( f \)
\( f '(x) = -2 x + 2 \)
Paso - 2: Encuentra los puntos críticos (ver definición arriba) de la derivada
Ceros: \( - 2 x + 2 = 0 \)
x = 1 es el cero de \( f '(x) \)
La primera derivada está definida en todas partes dentro del dominio de la función dado por \( [-2 , 3] \) y su cero en \( x = 1 \) está dentro del dominio.
Por lo tanto, la función \( f \) tiene un punto crítico en x = 1
Paso - 3: Evalúa la función en los puntos finales del intervalo \( [-2 , 3] \) y los puntos críticos
\( f(-2) = - (-2)^2 + 2 (-2) -2 = -10\)
\( f(3) = - (3)^2 + 2 (3) -2 = -5 \)
\( f(1) = - (1)^2 + 2 (1) - 2 = - 1 \)
El valor máximo absoluto de \( f(x) \) es: \( -1 \) en \(x = -1\)
El valor mínimo absoluto de \( f(x) \) es: \( -10 \) en \(x = -2\)
El gráfico de \( f \) se muestra a continuación con el punto crítico y los puntos finales, así como el mínimo absoluto y el máximo absoluto.
Ejemplo 5
Encuentra el máximo absoluto y el mínimo absoluto de la función \( f \) definida por \( f(x) = \dfrac{1}{4} x^4 + \dfrac{1}{3} x^3 - x^2 \;\; \text{en} \;\; [-1 , 1] \).
Solución del Ejemplo 5
Paso - 1: Encuentra la primera derivada de la función dada \( f \)
\( f '(x) = x^3 + x^2 - 2x \)
Paso - 2: Encuentra los puntos críticos
Ceros: \( x^3 + x^2 - 2x = 0 \)
Factoriza el lado izquierdo
\( x(x-1)(x+2) =0 \)
Los ceros de la derivada \( f ' \) son: \( x = 0 \) , \( x = 1 \) y \( x = - 2\)
La primera derivada está definida en todo el dominio de la función dada por \( [-1 , 1] \) y solo dos ceros \( x = 0 \) y \( x = 1 \) están dentro del dominio.
Por lo tanto, la función \( f \) tiene dos puntos críticos dentro del dominio: en \( x = 0 \) y \( x = 1 \)
Paso - 3: Evalúa la función en los extremos del intervalo \( [-1 , 1] \) y los puntos críticos \( x = 0 \) y \( x = 1 \).
\( f(-1) = \dfrac{1}{4} (-1)^4 + \dfrac{1}{3} (-1)^3 - (-1)^2 = - 13/12\)
\( f(1) = \dfrac{1}{4} (1)^4 + \dfrac{1}{3} (1)^3 - (1)^2 = -5/12\)
\( f(0) = \dfrac{1}{4} (0)^4 + \dfrac{1}{3} (0)^3 - (0)^2 = 0 \)
El valor máximo absoluto de \( f(x) \) es: \( 0 \) en \( x = 0 \)
El valor mínimo absoluto de \( f(x) \) es: \( -13/12 \) en \( x = - 1\)
El gráfico de \( f \) se muestra a continuación con los puntos críticos y extremos, así como el mínimo absoluto y el máximo absoluto.
Ejemplo 6
Encuentra el máximo absoluto y el mínimo absoluto de la función \( f \) definida por \( f(x) = x^2 \ln(x) - 1 \;\; \text{en} \;\; [0.5 , 2] \).
Solución del Ejemplo 6
Paso - 1: Encuentra la primera derivada de \( f \)
\( f '(x) = 2x \ln(x) + x^2 (1/x) = 2x \ln(x) + x \)
Paso - 2: Encuentra los puntos críticos
Ceros: \(2x \ln(x) + x = 0 \)
Factoriza el lado izquierdo
\( x( 2\ln(x) + 1) =0 \)
Resuelve lo anterior
\( x = 0 \)
y
\( 2 \ln(x) + 1 = 0 \) lo que da \( \ln(x) = - 1/2 \) y \( x = e^{-1/2} \)
Los ceros de la derivada \( f ' \) son: \( x = 0 \) y \( x = e^{-1/2} \approx 0.61 \)
La primera derivada está definida en todo el dominio de la función dada por \( [0.5 , 2] \) y solo un cero \( x = e^{-1/2} \) está dentro del dominio.
Por lo tanto, la función \( f \) tiene un punto crítico dentro del dominio: en \( x = e^{-1/2} \)
Paso - 3: Evalúa la función en los extremos del intervalo \( [0.5 , 2] \) y el punto crítico calculado anteriormente.
\( f(0.5) = (0.5)^2 \ln(0.5) - 1 = -1.17 \)
\( f(2) = (2)^2 \ln(2) - 1 = 1.77 \)
\( f
(e^{-1/2}) = (e^{-1/2})^2 \ln((e^{-1/2})) - 1 = -1.18 \)
El valor máximo absoluto de \( f(x) \) es: \( 1.77 \) en \( x = 2 \)
El valor mínimo absoluto de \( f(x) \) es: \( -1.18 \) en \( x = e^{-1/2}\)
Ejemplo 7
Encuentra el máximo absoluto y el mínimo absoluto de la función \( f \) definida por \( f(x) = |x^2 - 2x - 3| - x\;\; \text{en} \;\; [-1.1 , 4] \).
Solución del Ejemplo 7
Paso - 1: Encuentra la primera derivada de \( f \)
Usa el hecho de que \( \sqrt{u^2} = |u| \) para escribir \( f(x) \) de la siguiente manera
\( f(x) = |x^2 - 2x - 3| - x = \sqrt{(x^2 - 2x - 3)^2} - x\)
La primera derivada de \( f \) es
\( f(x) = \dfrac{(x^2-2x-3)(2x-2)}{\sqrt{(x^2-2x-3)^2}}-1 = \dfrac{(x^2-2x-3)(2x-2) - |x^2-2x-3|}{|x^2-2x-3|} \)
Paso - 2: Encuentra los puntos críticos
El denominador de \( f '(x) \) es igual a cero si
\( x^2-2 x - 3 = 0 \)
Factoriza y resuelve
\( x^2-2 x - 3 = (x+1)(x-3) = 0\)
\( x = -1 \) y \( x = 3 \) hacen que el denominador de \(f'(x) \) sea igual a cero y por lo tanto son puntos críticos porque \( f '(x) \) es indefinida en estos valores de \( x \).
Encuentra los ceros al igualar el numerador a cero: \( (x^2-2x-3)(2x-2) - |x^2-2x-3| = 0 \) ecuación (1)
La expresión \( x^2-2x-3 \) depende de \( x \) y por lo tanto puede ser negativa o positiva.
Si \( x^2-2x-3 < 0 \), \( |x^2-2x-3| = - (x^2-2x-3) \) y la ecuación (1) puede escribirse como
\( (x^2-2x-3)(2x-2) + (x^2-2x-3) = 0 \)
\( (x^2-2x-3)(2x-2+1) = (x^2-2x-3)(2x-1) = 0 \)
La ecuación anterior tiene tres ceros: \( x = -1\), \( x = 3 \) y \( x = 1/2 \).
Si \( x^2-2x-3 > 0 \), \( |x^2-2x-3| = (x^2-2x-3) \) y la ecuación (1) puede escribirse como
\( (x^2-2x-3)(2x-2) - (x^2-2x-3) = (x^2-2x-3)(2x-2-1) = (x^2-2x-3)(2x-3) = 0 \)
La ecuación anterior tiene tres ceros: \( x = -1\), \( x = 3 \) y \( x = 3/2 \).
Verifica las soluciones de \( f'(x) = 0\)
\( x = -1\) y \( x = 3 \) no son ceros de \( f'(x) \) ya que \( f'(x) \) es indefinida en estos valores.
Verifica \( x = 1/2 \): Numerador: \( (x^2-2x-3)(2x-2) - |x^2-2x-3| = ((1/2)^2-2(1/2)-3)(2(1/2)-2) - |(1/2)^2-2(1/2)-3| = 0 \)
Verifica \( x = 3/2 \): Numerador: \( (x^2-2x-3)(2x-2) - |x^2-2x-3| = ((3/2)^2-2(3/2)-3)(2(3/2)-2) - |(3/2)^2-2(3/2)-3| = -15/2 \)
\( x = 1/2 \) es el único cero de \( f'(x) \) y por lo tanto es un punto crítico.
Conclusión La función \( f \) tiene tres puntos críticos: \( x = 1/2 \) es un cero de \( f'(x) \) y \( x = -1\) y \( x = 3 \) son valores de \( x \) para los cuales \( f'(x) \) es indefinida.
Paso - 3: Evalúa la función en los extremos del intervalo \( [-1.1 , 4] \) y los puntos críticos \( -1 \) , \( 1/2 \) y \( 3 \).
\( f(-1.1) = |(-1.1)^2 - 2(-1.1) - 3| - (-1.1) = 1.51 \)
\( f(4) = |(4)^2 - 2(4) - 3| - (4) = 1 \)
\( f
(1/2) = |(1/2)^2 - 2(1/2) - 3| - (1/2) = 13/4 = 3.25 \)
\( f(-1) = |(-1)^2 - 2(-1) - 3| - (-1) = 1 \)
\( f(3) = |(3)^2 - 2(3) - 3| - (3) = -3 \)
El valor máximo absoluto de \( f(x) \) es: \( 3.25 \) en \( x = 1/2 \)
El valor mínimo absoluto de \( f(x) \) es: \( -3 \) en \( x = 3\)
El gráfico de \( f \) se muestra a continuación con los puntos críticos calculados anteriormente y los extremos del intervalo \( [-1.1 , 4] \) así como el mínimo absoluto y el máximo absoluto.
Ejemplo 8
Encuentra el máximo absoluto y el mínimo absoluto de la función \( f \) definida por \( f(x) = (x-2)^{2/5} \;\; \text{en} \;\; [-3 , 4] \).
Solución del Ejemplo 8
Paso - 1: Encuentra la primera derivada de \( f \)
\( f '(x) = (2/5)(x-2)^{2/5-1} = (2/5)(x-2)^{-3/5} = \dfrac{2}{5(x-2)^{3/5}} \)
Paso - 2: Encuentra los puntos críticos (ver definición arriba) de la derivada
\( f'(x) \) no tiene ningún cero.
El denominador de la primera derivada es igual a cero en \( x = 2\) y por lo tanto \( x = 2 \) es un punto crítico.
Paso - 3: Evalúa la función en los extremos y los puntos críticos
\( f(-3) = ((-3)-2)^{2/5} \approx 1.90\)
\( f(4) = ((4)-2)^{2/5} \approx 1.32\)
\( f(2) = ((2)-2)^{2/5} = 0 \)
El valor máximo absoluto de \( f(x) \) es: \( \approx 1.90 \) en \(x = -3\)
El valor mínimo absoluto de \( f(x) \) es: \( 0 \) en \(x = 2\)
El gráfico de \( f \) se muestra a continuación con el punto crítico determinado anteriormente y los extremos del intervalo \( [-3 , 4] \) así como el mínimo absoluto y el máximo absoluto.
