La aproximación lineal es un ejemplo de cómo se utiliza la diferenciación para aproximar funciones por otras lineales cerca de un punto dado. Se presentan ejemplos con soluciones detalladas sobre aproximaciones lineales.
Aproximaciones Lineales a Funciones
Una posible aproximación lineal fl a la función f en x = a puede obtenerse utilizando la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x = a, como se muestra en el siguiente gráfico.
fl(x) = f(a) + f '(a) (x - a)
Para valores de x cercanos a x = a, esperamos que f(x) y fl(x) tengan valores cercanos. Dado que fl(x) es una función lineal, tenemos una aproximación lineal de la función f.
Esta aproximación puede usarse para linealizar funciones no algebraicas como seno, coseno, logaritmo, exponencial y muchas otras funciones para facilitar su cálculo. Se presentan ejemplos a continuación.
Ejemplo 1
Encuentra la aproximación lineal de f(x) = tan x, para x cercano a 0.
Solución al Ejemplo 1
Primero calculamos f '(0)
f '(x) = sec 2 x
f '(0) = sec 2 (0) = 1
Por lo tanto, la aproximación lineal fl(x) está dada por
fl(x) = f(0) + f '(0) (x - 0) = x
El resultado anterior significa que tan x ≈ x para x cercano a 0 cuando x está en RADIANES.
Pon tu calculadora en RADIANES y calcula tan x para los siguientes valores de x.
x = 0 , x = 0.001 , x = 0.01, x = 0.1, x = 0.2, x = 0.3 y x = 0.5
Nota y compara tan x y x. Conclusion.
Ejemplo 2
Encuentra la aproximación lineal de f(x) = ln x, para x cercano a 1.
Solución al Ejemplo 2
Primero calculamos f '(1)
f '(x) = 1 / x
f '(1) = 1
Por lo tanto, la aproximación lineal fl(x) está dada por
fl(x) = ln 1 + f '(1) (x - 1) = x - 1
El resultado anterior significa que
ln x ≈ x - 1 para x cercano a 1.
Usa tu calculadora para calcular ln x y x - 1 para
x = 1 , x = 1.001 , x = 1.01, x = 1.1, x = 1.5
Nota y compara ln x y x - 1. Conclusion.
Ejemplo 3
Encuentra la aproximación lineal de f(x) = ex, para x cercano a 0.
Solución al Ejemplo 3
f '(0) = 1
Por lo tanto, la aproximación lineal fl(x) está dada por
fl(x) = e0 + f '(0) (x - 0) = 1 + x
Usa tu calculadora para calcular ex y 1 + x para
x = 0 , x = 0.001 , x = 0.01, x = 0.1 y x = 0.5
y compara.
La aproximación lineal es una de las aproximaciones más simples a funciones trascendentales que no pueden expresarse algebraicamente. Sin embargo, existen otros métodos más potentes que ofrecen mejores aproximaciones algebraicas a estas funciones.
