Se examina el límite de arctan(x) cuando x se acerca a infinito utilizando dos enfoques diferentes. El primero se basa en el triángulo rectángulo y el segundo se basa en la definición de la función inversa arctan(x) .
Arctan(x) en un Enfoque de Triángulo Rectángulo
Sea α = arctan(x) , lo cual da tan α = x = x / 1 , y use la definición de tan x en un triángulo rectángulo para visualizar x = tan α .
Fig. 1 - α = arctan(x) en un Triángulo Rectángulo Enfoque Geométrico
A medida que x aumenta indefinidamente, geométricamente α se aproxima a π/2 , y por lo tanto escribimos el límite
Enfoque Algebraico
También podemos usar sin (α) dada por
Calcular el límite
\( \) \( \)\( \)\( \)
lo que nos da
\[ \lim_{x \to \infty} \sin \alpha = \sin \dfrac{\pi}{2} \]
Usando el límite de funciones compuestas, escribimos \( \lim_{x \to \infty} \sin \alpha = \sin (\lim_{x \to \infty} \alpha) \) y el hecho de que
\( \dfrac{\pi}{2} \) es una constante, por lo tanto \( \dfrac{\pi}{2} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\pi}{2} \), escribimos
\[ \lim_{x \to \infty} \sin \alpha = \sin (\lim_{x \to \infty} \; \alpha ) = \sin \lim_{x \to \infty} \dfrac{\pi}{2} \]
Usando \( \alpha = \arctan(x) \) y lo anterior, escribimos
\[ \lim_{x \to \infty} \; \alpha = \lim_{x \to \infty} \; \arctan(x) = \dfrac{\pi}{2} \]
Enfoque de Gráficas de Tan(x) y Arctan(x)
A continuación se muestra la gráfica de la función \( y = \tan x \) (en azul) en el intervalo \( (-\dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2}) \), con \( x = \dfrac{\pi}{2} \) y \( x = - \dfrac{\pi}{2} \) siendo asíntotas verticales (línea azul discontinua). Es una función uno a uno y por lo tanto tiene la función inversa \( y = \arctan (x) \) como se muestra a continuación (en rojo).
Las asíntotas verticales de \( y = \tan x \) se convierten en asíntotas horizontales (línea roja discontinua) de la función inversa \( y = \arctan (x) \) que por definición se pueden escribir usando límites de la siguiente manera:
\[ \lim_{x \to \infty} \arctan(x) = \dfrac{\pi}{2} \]
y
\[ \lim_{x \to -\infty} \arctan(x) = -\dfrac{\pi}{2} \]
Fig. 2 - Gráfica de \( \tan(x) \) y \( \arctan(x) \)
