Se utilizan enfoques numéricos y gráficos para introducir el concepto de límites mediante ejemplos.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
Enfoque numérico de los límites
Ejemplo 1
Sea \( f(x) = 2x + 2 \) y calcula \( f(x) \) a medida que \( x \) toma valores más cercanos a 1. Primero consideramos los valores de \( x \) que se aproximan a 1 por la izquierda (\( x < 1 \)).
Ahora consideramos que \( x \) se aproxima a 1 por la derecha (\( x > 1 \)).
En ambos casos, a medida que \( x \) se aproxima a 1, \( f(x) \) se aproxima a 4. Intuitivamente, decimos que \( \lim_{x \to 1} f(x) = 4 \).
NOTA: Estamos hablando de los valores que toma \( f(x) \) cuando \( x \) se acerca a \( 1 \) y no a \( f(1) \). De hecho, podemos hablar del límite de \( f(x) \) cuando \( x \) se aproxima a \( a \) incluso cuando \( f(a) \) no está definido.
Ejemplo 2
Sea \( g(x) = \dfrac{\sin x}{x} \) y calcula \( g(x) \) a medida que \( x \) toma valores más cercanos a 0. Consideramos valores de \( x \) que se aproximan a 0 por la izquierda (\( x < 0 \)) y valores de \( x \) que se aproximan a 0 por la derecha (\( x > 0 \)).
Aquí decimos que \( \lim_{x \to 0} g(x) = 1 \). Nota que \( g(0) = \dfrac{\sin 0}{0} = \dfrac{0}{0} \) no está definido en \( x = 0 \).
Enfoque gráfico de los límites
Ejemplo 3
El gráfico a continuación muestra que a medida que \( x \) se aproxima a 1 por la izquierda, \( y = f(x) \) se aproxima a 2 y esto se puede escribir como:
\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \]A medida que \( x \) se aproxima a 1 por la derecha, \( y = f(x) \) se aproxima a 4 y esto se puede escribir como:
\[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 4 \]Nota que los límites por la izquierda y por la derecha y \( f(1) = 3 \) son todos diferentes.
Ejemplo 4
Este gráfico muestra que:
\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \]A medida que \( x \) se aproxima a 1 por la derecha, \( y = f(x) \) se aproxima a 4 y esto se puede escribir como:
\[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 4 \]Nota que el límite por la izquierda \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \) y \( f(1) = 2 \) son iguales.
Ejemplo 5
Este gráfico muestra que:
\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = 1 \]y
\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \]Nota que los límites por la izquierda y por la derecha son iguales y podemos escribir:
\[ \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \]En este ejemplo, el límite cuando \( x \) se aproxima a 0 es igual a \( f(0) = 1 \).
Ejemplo 6
Este gráfico muestra que a medida que \( x \) se aproxima a -2 por la izquierda, \( f(x) \) se vuelve cada vez más pequeño sin cota y no hay límite. Escribimos:
\[ \lim_{x \to -2^-} f(x) = -\infty \]A medida que \( x \) se aproxima a -2 por la derecha, \( f(x) \) se vuelve cada vez más grande sin cota y no hay límite. Escribimos:
\[ \lim_{x \to -2^+} f(x) = +\infty \]Nota que \( -\infty \) y \( +\infty \) son símbolos y no números. Son símbolos utilizados para indicar que el límite no existe.
Ejemplo 7
El gráfico a continuación muestra una función periódica cuyo rango está dado por el intervalo \([-1, 1]\). Si se permite que \( x \) crezca sin cota, \( f(x) \) toma valores dentro de \([-1, 1]\) y no tiene límite. Esto se puede escribir:
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \text{no existe} \]Si se permite que \( x \) decrezca sin cota, \( f(x) \) toma valores dentro de \([-1, 1]\) y nuevamente no tiene límite. Esto se puede escribir:
\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \text{no existe} \]
Ejemplo 8
Si se permite que \( x \) crezca sin cota, \( f(x) \) en el gráfico a continuación se aproxima a 2. Esto se puede escribir:
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2 \]Si se permite que \( x \) decrezca sin cota, \( f(x) \) se aproxima a 2. Esto se puede escribir:
\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 2 \]
