Se utilizan enfoques numéricos y gráficos para introducir el concepto de límites mediante ejemplos.
Sea \( g(x) = \dfrac{\sin x}{x} \) y calcule \( g(x) \) a medida que \( x \) toma valores cercanos a 0. Consideramos valores de \( x \) que se aproximan a 0 por la izquierda (\( x \lt 0 \)) y valores de \( x \) que se aproximan a 0 por la derecha (\( x > 0 \)).
Aquí decimos que \( \lim_{{x \to 0}} g(x) = 1 \). Observa que \( g(0) = \dfrac{\sin 0}{0} = \dfrac{0}{0} \) no está definido en \( x = 0 \).
La gráfica siguiente muestra que a medida que \( x \) se aproxima a 1 por la izquierda, \( y = f(x) \) se acerca a 2 y esto puede escribirse como \[ \lim_{{x \to 1^-}} f(x) = 2 \] Cuando \( x \) se aproxima a 1 por la derecha, \( y = f(x) \) se acerca a 4 y esto puede escribirse como \[ \lim_{{x \to 1^+}} f(x) = 4 \] Observa que los límites laterales (izquierdo y derecho) y \( f(1) = 3 \) son todos diferentes.
Esta gráfica muestra que
\[ \lim_{{x \to 1^-}} f(x) = 2 \]
Cuando \( x \) se aproxima a 1 por la derecha, \( y = f(x) \) se acerca a 4 y esto puede escribirse como
\[ \lim_{{x \to 1^+}} f(x) = 4 \]
Observa que el límite por la izquierda \( \lim_{{x \to 1^-}} f(x) = 2 \) y \( f(1) = 2 \) son iguales.
Esta gráfica muestra que \[ \lim_{{x \to 0^-}} f(x) = 1 \] y \[ \lim_{{x \to 0^+}} f(x) = 1 \] Observa que los límites laterales son iguales y podemos escribir \[ \lim_{{x \to 0}} f(x) = 1 \] En este ejemplo, el límite cuando \( x \) se aproxima a 0 es igual a \( f(0) = 1 \).
Esta gráfica muestra que a medida que \( x \) se aproxima a -2 por la izquierda, \( f(x) \) se vuelve cada vez más pequeño sin cota y no hay límite. Escribimos
\[ \lim_{{x \to -2^-}} f(x) = -\infty \]
Cuando \( x \) se aproxima a \( -2 \) por la derecha, \( f(x) \) se vuelve cada vez más grande sin cota y no hay límite. Escribimos
\[ \lim_{{x \to -2^+}} f(x) = +\infty \]
Observa que \( -\infty \) y \( +\infty \) son símbolos y no números. Estos son símbolos utilizados para indicar que el límite no existe.
Si se permite que \( x \) aumente sin cota, \( f(x) \) en la gráfica siguiente se aproxima a 2. Esto puede escribirse como \[ \lim_{{x \to +\infty}} f(x) = 2 \] Si se permite que \( x \) disminuya sin cota, \( f(x) \) se aproxima a 2. Esto puede escribirse como \[ \lim_{{x \to -\infty}} f(x) = 2 \]
