Se presenta la demostración de la fórmula de Euler, utilizando la serie de Taylor.
Haciendo referencia a las tablas de fórmulas matemáticas, la serie de Taylor de \( e^z \) es
\( e^z = 1 + z + \dfrac{z^2} { 2! } + \dfrac{z^3} { 3! } + \dfrac{z^4} { 4! } + \dfrac{z^5} { 5! } + \dfrac{z^6} { 6! } + \dfrac{z^7} { 7! } ... + \dfrac{z^n}{n!} + ... \)
Sea \( z = i x \), donde \( x \) es un número real e \( i = \sqrt {-1} \) es la unidad imaginaria.
\( e^{(ix)} = 1 + {(ix)} + \dfrac{{(ix)}^2} { 2! } + \dfrac{{(ix)}^3} { 3! } + \dfrac{{(ix)}^4} { 4! } + \dfrac{{(ix)}^5} { 5! } + \dfrac{{(ix)}^6} { 6! } + \dfrac{{(ix)}^7} { 7! } ... \)
Extrayendo la \( i \) del interior de los paréntesis, \( e^{(ix)} \) puede escribirse como
\( e^{(ix)} = 1 + i x + i^2 \dfrac{x^2} { 2! } + i^3 \dfrac{x^3} { 3! } + i^4 \dfrac{x^4} { 4! } + i^5 \dfrac{x^5} { 5! } + i^6 \dfrac{x^6} { 6! } + i^7 \dfrac{x^7} { 7! } ... + i^n \dfrac{x^n}{n!} + ... \)
Nótese que
\( i^2 = - 1 \)
\( i^3 = i^2 i = - i\)
\( i^4 = i^3 i = 1 \)
\( i^5 = i^4 i = i \)
\( i^6 = i^5 i = - 1 \)
\( i^7 = i^6 i = -i \) ...
y así sucesivamente.
Por lo tanto, \( e^{(ix)} \) puede escribirse como
\( e^{(ix)} = 1 + i x - \dfrac{x^2} { 2! } - i \dfrac{ x^3} { 3! } + \dfrac{x^4} { 4! } + i \dfrac{x^5} { 5! } - \dfrac {x^6} { 6! } - i \dfrac{x^7} { 7! } ... \)
Agrupemos los términos que forman la parte real por un lado y los términos que forman la parte imaginaria por otro y reescribamos \( e^{(ix)} \) como
\( e^{(ix)} = ( 1 - \dfrac{x^2} { 2! } + \dfrac{x^4} { 4! } - \dfrac {x^6} { 6! } ...) + i ( x - \dfrac{ x^3} { 3! } + \dfrac{x^5} { 5! } - \dfrac{x^7} { 7! } ...) \qquad (I) \)
Haciendo referencia a las tablas de fórmulas matemáticas, las series de Taylor de \( \sin x \) y \( \cos x \) son
\( \sin x = x - \dfrac{x^3}{ 3!} + \dfrac{x^5}{ 5!} - \dfrac{ x^7}{ 7!} + ... \)
\( \cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + ... \)
Observa que la parte real de \( e^{(ix)} \) en \( (I) \) es
\( 1 - \dfrac{x^2} { 2! } + \dfrac{x^4} { 4! } - \dfrac {x^6} { 6! } ...\) que es la serie de Taylor de \( \cos x \)
y la parte imaginaria de \( e^{(ix)} \) en \( (I) \) es
\( x - \dfrac{ x^3} { 3! } + \dfrac{x^5} { 5! } - \dfrac{x^7} { 7! } ... \) que es la serie de Taylor de \( \sin x \)
y de ahí la fórmula de Euler
\[ e^{ix} = \cos x + i \sin x \]