Se presenta un enfoque detallado paso a paso sobre cómo sumar, restar, multiplicar, dividir y simplificar fracciones complejas con variables. También se incluyen más preguntas y sus soluciones con explicaciones detalladas.
Para entender los ejemplos a continuación, es necesario repasar a fondo los conceptos de fracciones, fracciones equivalentes, y cómo sumar, multiplicar y dividir fracciones.
Presentamos ejemplos sobre cómo simplificar fracciones complejas que incluyen variables, junto con sus soluciones detalladas. Las ideas básicas son muy similares a la simplificación de fracciones numéricas.
Ejemplo 1
Suma las fracciones: \( \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{5} \)
Solución del Ejemplo 1
El denominador \( x \) no se conoce y, en general, asumimos que no es igual al denominador \( 5 \) de la fracción \( \dfrac{3}{5} \).
Para sumar fracciones, primero las reescribimos con el mismo denominador (o común).
Para igualar ambas fracciones a un denominador común, multiplicamos el numerador y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, que es \( 5 \), y multiplicamos el numerador y el denominador de la segunda fracción por el denominador de la primera fracción, que es \( x \).
\( \quad \quad \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{x} \times \color{red}{\dfrac{5}{5}} + \dfrac{3}{5} \times \color{red}{\dfrac{x}{x}}\)
Multiplica las fracciones
\( \quad \quad = \dfrac{2 \times \color{red}5} {x \times \color{red}5 } + \dfrac{3 \times \color{red}x} {5 \times \color{red}x} \)
Simplifica (NOTA: \( x \times 5 = 5 \times x = 5x \) conmutatividad de la multiplicación)
\( \quad \quad = \dfrac{10}{5x} + \dfrac{3x}{5x} \)
y ahora que las dos fracciones tienen el mismo denominador \( 5x \), sumamos los numeradores
\( \quad \quad = \dfrac{10 + 3x}{5x} \)
Ejemplo 2
Resta las fracciones: \( \dfrac{1}{7} - \dfrac{3}{y} \)
Solución del Ejemplo 2
El denominador \( y \) es desconocido y, en general, asumimos que no es igual al otro denominador \( 7 \).
Para restar fracciones, primero las reescribimos con el mismo denominador (o común).
Multiplica el numerador y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, que es \( y \), y multiplica el numerador y el denominador de la segunda fracción por el denominador de la primera fracción, que es \( 7 \).
\( \quad \quad \dfrac{1}{7} - \dfrac{3}{y} = \dfrac{1}{7} \times \color{red}{\dfrac{y}{y}} - \dfrac{3}{y} \times \color{red}{\dfrac{7}{7}}\)
Multiplica las fracciones
\( \quad \quad = \dfrac{1 \times \color{red} y} {7 \times \color{red}y } - \dfrac{3 \times \color{red}7} {y \times \color{red}7} \)
Simplifica
\( \quad \quad = \dfrac{y}{7y} - \dfrac{21}{7y} \)
y ahora que tienen el mismo denominador, restamos los numeradores
\( \quad \quad = \dfrac{y - 21}{7y} \)
Ejemplo 3
Escribe como una fracción: \( 2 x - \dfrac{3x}{2} \)
Solución del Ejemplo 3
Reescribe \( 2x \) como una fracción.
\( \quad \quad 2 x - \dfrac{3x}{2} = \dfrac{2 x}{1} - \dfrac{3x}{2}\)
Reescribe las fracciones con el mismo denominador (o común).
\( \quad \quad = \dfrac{2 x}{1} \color{red} {\times \dfrac{2}{2}} - \dfrac{3x}{2}\)
\( \quad \quad = \dfrac{4 x}{2} - \dfrac{3x}{2}\)
Resta los numeradores y mantén el denominador común
\( \quad \quad = \dfrac{4x - 3x}{2} \)
Simplifica
\( \quad \quad = \dfrac{x}{2} \)
Ejemplo 4
Escribe como una fracción: \( \dfrac{\dfrac{3x}{5}}{\dfrac{x}{4}} \)
Solución del Ejemplo 4
Para dividir dos fracciones, multiplicamos la de arriba por el recíproco de la de abajo. Por lo tanto
\( \quad \quad \dfrac{\dfrac{3x}{5}}{\dfrac{x}{4}} = \dfrac{3x}{5} \times \dfrac{4}{x} \)
Encuentra factores comunes en el numerador y el denominador.
\( \quad \quad = \dfrac{3 \color{red} x}{5} \times \dfrac{4}{ \color{red}x} \)
Simplifica
\( \quad \quad = \dfrac{12}{5}\)
Ejemplo 5
Escribe como una fracción: \( \dfrac{1+\dfrac{x}{2}}{3+\dfrac{3x}{2}} \)
Solución del Ejemplo 5
Hay términos con el denominador \( 2 \) tanto en el numerador como en el denominador. Por lo tanto, multiplicamos el numerador y el denominador por \( 2 \) para eliminar las fracciones.
\( \quad \quad \dfrac{1+\dfrac{x}{2}}{3+\dfrac{3x}{2}} = \dfrac{ (1+\dfrac{x}{2}) \times \color{red}2}{ (3+\dfrac{3x}{2}) \times \color{red}2 } \)
Distribuye.
\( \quad \quad = \dfrac{ 1 \times \color{red}2+\dfrac{x}{2} \times \color{red}2 }{ 3 \times \color{red}2 +\dfrac{3x}{2} \times \color{red}2 } \)
Simplifica
\( \quad \quad = \dfrac{2+x}{6+3x} \)
Factoriza \( 3 \) en el denominador
\( \quad \quad = \dfrac{2+x}{3(2+x)} = \dfrac{1(2+x)}{3(2+x)} \)
Simplifica dividiendo el numerador y el denominador por \( 2 + x \).
\( \quad \quad = \dfrac{1}{3}\)
Ejemplo 6
Escribe como una fracción: \( 4 + \dfrac{2+\dfrac{1}{x}}{3 - \dfrac{1}{2x}} \)
Solución del Ejemplo 6
Hay dos términos con denominador \( x \) y \( 2x \) en la fracción de la derecha. Para eliminar las fracciones, multiplicamos el numerador y el denominador por \( 2x \). Por lo tanto
\( \quad \quad 4 + \dfrac{2+\dfrac{1}{x}}{3 - \dfrac{1}{2x}} = 4 + \dfrac{ (2+\dfrac{1}{x}) \times \color{red}{2x} }{ (3 - \dfrac{1}{2x}) \times \color{red}{2x} } \)
Distribuye.
\( \quad \quad = 4 + \dfrac{ 2 \times \color{red}{2x} + \dfrac{1}{x} \times \color{red}{2x} }{ 3 \times \color{red}{2x} - \dfrac{1}{2x} \times \color{red}{2x} } \)
Simplifica
\( \quad \quad = 4 + \dfrac{ 4x + 2 }{ 6x - 1 } \)
Reescribe \( 4 \) como una fracción con denominador \( 6x - 1 \)
\( \quad \quad = 4 \times \color{red}{\dfrac{6x-1}{6x-1}} + \dfrac{ 4x + 2 }{ 6x - 1 } \)
Expande el numerador de la fracción de la izquierda
\( \quad \quad = \dfrac{24x-4}{6x-1} + \dfrac{ 4x + 2 }{ 6x - 1 } \)
Las fracciones tienen un denominador común y, por lo tanto, se pueden agrupar de la siguiente manera
\( \quad \quad = \dfrac{24x-4+4x+2}{6x-1} = \dfrac{28x - 2}{6x-1} \)
Reescribe las siguientes expresiones como una sola fracción.