Reducir Fracciones Paso a Paso

Presentamos ejemplos sobre cómo reducir fracciones a su mínima expresión. También se incluyen soluciones detalladas y explicaciones. Más preguntas y sus respuestas se encuentran al final de la página. También se incluye la reducción de fracciones con variables.

¿Qué es una Fracción Reducida a su Mínima Expresión?

Una fracción está reducida a su mínima expresión si el numerador y el denominador no tienen ningún factor común excepto el 1.

Ejemplo 1

a) Las siguientes fracciones están en forma reducida:

\( \quad \dfrac{2}{5} \), \( \dfrac{10}{13} \), \( \dfrac{25}{28} \)

b) Las siguientes fracciones NO están en forma reducida:
\( \quad \dfrac{2}{6} \): porque el numerador \( 2 = 2 \times 1 \) y el denominador \( 6 = 3 \times 2 \) y, por lo tanto, tienen un factor común igual a 2.

\( \quad \dfrac{12}{16} \): porque el numerador \( 12 = 3 \times 4 \) y el denominador \( 16 = 4 \times 4 \) y, por lo tanto, tienen un factor común igual a 4.

\( \quad \dfrac{10}{50} \): porque el numerador \( 10 = 10 \times 1 \) y el denominador \( 50 = 5 \times 10\) y, por lo tanto, tienen un factor común igual a 10.

Hay dos formas de escribir fracciones en forma reducida.
En el primer método, primero debes encontrar el Máximo Común Divisor (MCD) del numerador y el denominador, luego dividir ambos por el MCD para encontrar una fracción equivalente en los términos más simples.

Reducir Fracciones Usando el Máximo Común Divisor (MCD)

Ejemplo 2

Reduce la fracción \( \dfrac{12}{28} \) a su mínima expresión.

Solución al Ejemplo 2
El MCD del numerador \( 12 \) y el denominador \( 28 \) es \( 4 \). Por lo tanto, obtenemos una fracción equivalente en forma reducida dividiendo el numerador y el denominador por el MCD.

\( \quad \dfrac{12}{28} = \dfrac{12 \color{red}{\div 4}}{28 \color{red}{\div 4}} = \dfrac{3}{7} \)

El numerador \( 3 \) y el denominador \( 7 \) no tienen ningún factor común excepto \( 1 \), por lo tanto, la fracción \(\dfrac{3}{7} \) es la forma reducida de la fracción dada.

Ejemplo 3

Reduce la fracción \( \dfrac{240}{360} \) a su mínima expresión.

Solución al Ejemplo 3
El numerador y el denominador son múltiplos de diez, por lo tanto, podemos comenzar dividiendo el numerador y el denominador por \( 10 \) para obtener una fracción equivalente.

\( \quad \dfrac{240}{360} = \dfrac{240 \color{red}{\div 10}}{360 \color{red}{\div 10}} = \dfrac{24}{36} \)

El MCD del numerador \( 24 \) y el denominador \( 36 \) es \( 12 \). Una fracción equivalente en forma reducida se obtiene dividiendo el numerador y el denominador por el MCD.

\( \quad \dfrac{240}{360} = \dfrac{24}{36} = \dfrac{24 \color{red}{\div 12}}{36 \color{red}{\div 12}} = \dfrac{2}{3} \)

La fracción \(\dfrac{2}{3} \) es la forma reducida de la fracción dada.

Reducir Fracciones por Divisiones Sucesivas

En este método, dividimos el numerador y el denominador por los números primos: 2, 3, 5, 7, 11... hasta que el numerador y el denominador no tengan ningún factor común excepto 1.

Ejemplo 4

Reduce la fracción \( \dfrac{36}{168} \) a su mínima expresión.

Solución al Ejemplo 4
El numerador y el denominador son números enteros pares y, por lo tanto, divisibles por 2. Por lo tanto, dividimos numerador y denominador por 2.

\( \quad \dfrac{36}{168} = \dfrac{36 \div 2}{ 168 \div 2} = \dfrac{18}{84} \)

El numerador y el denominador de la fracción obtenida arriba son números enteros pares, por lo que dividimos numerador y denominador por 2 una vez más.

\( \quad \dfrac{18}{84} = \dfrac{18 \div 2}{ 84 \div 2} = \dfrac{9}{42} \)

El numerador y el denominador de la fracción obtenida arriba son divisibles por 3, por lo tanto:

\( \quad \dfrac{9}{42} = \dfrac{9 \div 3}{ 42 \div 3} = \dfrac{3}{14} \)

\( \quad \dfrac{3}{14} \) es la forma reducida de la fracción dada.

Reducir Fracciones que Incluyen Variables

Reducimos la parte numérica y la parte algebraica por separado.

Ejemplo 5

Reduce la fracción \( \dfrac{21 x}{36 x^2} \) a su mínima expresión.

Solución al Ejemplo 5
La fracción dada puede escribirse como el producto de dos fracciones: una en forma numérica y la otra en forma algebraica.

\( \quad \dfrac{21 x}{36 x^2} = \dfrac{21}{36} \times \dfrac{x}{x^2}\)

Reduce la fracción en forma numérica usando cualquier método. El MCD de 21 y 36 es igual a 3. Por lo tanto:

\( \quad \dfrac{21}{36} = \dfrac{21 \div 3}{36 \div 3} = \dfrac{7}{12} \)

Reduce la fracción en forma algebraica. El factor común a \( x \) y \( x^2 \) es \( x \). Por lo tanto, dividimos el numerador y el denominador por el factor común \( x \).

\( \quad \dfrac{x}{x^2} = \dfrac{x \div x}{x^2 \div x} = \dfrac{1}{x} \)

Ahora reescribimos la fracción dada en forma reducida:

\( \quad \dfrac{21 x}{36 x^2} = \dfrac{21}{36} \times \dfrac{x}{x^2}\)

\( \quad = \dfrac{7}{12} \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{7}{12 x}\)

\( \quad \dfrac{7}{12 x} \) es la forma reducida de la fracción dada.

Preguntas

1. ¿Cuáles de las siguientes fracciones NO están en forma reducida?
   1. \( \dfrac{20}{155} \)
      
      
   2. \( \dfrac{3}{8} \)
      
      
   3. \( \dfrac{246}{1246} \)
      
      
   4. \( \dfrac{5}{13} \)
      
      
   5. \( \dfrac{9}{27} \)
      
      
   6. \( \dfrac{2 x }{3 x } \)
      
      
   7. \( \dfrac{7 x y}{11 y } \)
2. Escribe en forma reducida las siguientes fracciones:
   1. \( \dfrac{18}{48} \)
      
      
   2. \( \dfrac {14}{63} \)
      
      
   3. \( \dfrac {35}{165} \)
      
      
   4. \( \dfrac{1230}{2340} \)
      
      
   5. \( \dfrac{33 x^2 }{44 x} \)
      
      
   6. \( \dfrac{15 x y }{45 x y^2} \) (Nota: se asume que la expresión original '15 x y ' es '15 x y')
      
      
   7. \( \dfrac{12 (x-1) }{18 (x-1)^2} \)

Respuestas a las Preguntas Anteriores

1. Las siguientes fracciones NO están en forma reducida.
   a) \( \dfrac{20}{155} \), numerador y denominador son divisibles por 5 y, por lo tanto, tienen el factor común 5.
   
   c) \( \dfrac{246}{1246} \), numerador y denominador son números pares y, por lo tanto, divisibles por 2; por lo tanto, tienen el factor común 2.
   
   e) \( \dfrac{9}{27} \), numerador y denominador son divisibles por 3 y, por lo tanto, tienen el factor común 3.
   
   f) \( \dfrac{2 x }{3 x } \), numerador y denominador tienen el factor común \( x \).
   
   g) \( \dfrac{7 x y}{11 y } \), numerador y denominador tienen el factor común \( y \).
2. Escribe en forma reducida.
   1. 
      \( \dfrac{18}{48} \)
      MCD de (18 y 48) = 6
      Por lo tanto:
      \( \dfrac{18}{48} = \dfrac{18 \div 6}{48 \div 6} = \dfrac{3}{8} \)
      
      
   2. 
      \( \dfrac {14}{63} \)
      MCD de (14 y 63) = 7
      Por lo tanto:
      \( \dfrac {14}{63} = \dfrac {14 \div 7}{63 \div 7} = \dfrac{2}{9} \)
      
      
   3. 
      \( \dfrac {35}{165} \)
      5 es un factor común tanto para el numerador como para el denominador. Por lo tanto:
      
      \( \dfrac {35}{165} = \dfrac {35 \div 5}{165 \div 5} = \dfrac {7}{33} \)
      
      
   4. 
      \( \dfrac{1230}{2340} \)
      Tanto el numerador como el denominador son divisibles por 10. Por lo tanto:
      
      \( \dfrac{1230}{2340} = \dfrac {1230 \div 10}{2340 \div 10} = \dfrac {123}{234} \)
      
      Tanto el numerador como el denominador son divisibles por 3. Por lo tanto:
      
      \( \dfrac {123}{234} = \dfrac {123 \div 3}{234 \div 3} = \dfrac {41}{78} \)
      
      
   5. 
      \( \dfrac{33 x^2 }{44 x} \)
      Escribe como el producto de dos fracciones:
      \( \dfrac{33 x^2 }{44 x} = \dfrac{33 }{44 } \times \dfrac {x^2}{x} \)
      
      Tanto \( 33 \) como \( 44 \) tienen como factor común \( 11 \), y \( x^2 \) y \( x \) tienen como factor común \( x \). Por lo tanto:
      
      \( \dfrac{33 x^2 }{44 x} = \dfrac{33 \div 11 }{44 \div 11} \times \dfrac {x^2 \div x }{x \div x} \)
      
      Simplifica:
      
      \( = \dfrac {3}{4} \times \dfrac{x}{1} = \dfrac{3 x}{4} \)
      
      
   6. 
      \( \dfrac{15 x y }{45 x y^2} \)
      Escribe como el producto de dos fracciones:
      \( \dfrac{15 x y }{45 x y^2} = \dfrac{15 }{45 } \times \dfrac {x y}{x y^2} \)
      
      Tanto \( 15 \) como \( 45 \) tienen como factor común \( 15 \), y \( x y \) y \( x y^2 \) tienen como factor común \( x y \). Por lo tanto:
      
      \( \dfrac{15 x y }{45 x y^2} = \dfrac{15 \div 15 }{45 \div 15} \times \dfrac { x y \div x y }{ x y^2 \div x y} \)
      
      Simplifica:
      
      \( = \dfrac {1}{3} \times \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{3 y} \)
      
      
   7. 
      \( \dfrac{12 (x-1) }{18 (x-1)^2} \)
      Escribe como el producto de dos fracciones:
      
      \( \dfrac{12 (x-1) }{18 (x-1)^2} = \dfrac{12 }{18 } \times \dfrac {(x-1)}{(x-1)^2} \)
      
      Tanto \( 12 \) como \( 18 \) tienen como factor común \( 6 \), y \( x - 1 \) y \( (x-1)^2 \) tienen como factor común \( x - 1 \). Por lo tanto:
      
      \( \dfrac{12 (x-1) }{18 (x-1)^2} = \dfrac{12 \div 6 }{18 \div 6} \times \dfrac { (x - 1) \div (x - 1) }{ (x-1)^2 \div (x - 1)} \)
      
      Simplifica:
      
      \( = \dfrac {2}{3} \times \dfrac{1}{x - 1} = \dfrac{2}{3 (x-1)} \)
      
      

Más Referencias y Enlaces