A continuación se presentan soluciones sobre cómo factorizar polinomios por factor común.
Usa factores comunes para factorizar completamente los siguientes polinomios.
a) \[-3x + 9\]
b) \[28x + 2x^2\]
c) \[11xy + 55x^2y\]
d) \[20xy + 35x^2y - 15xy^2\]
e) \[5y(x + 1) + 10y^2(x + 1) - 15xy(x + 1)\]
a)
Encuentra los factores comunes en los dos términos de \( -3x + 9 \) expresando ambos términos, \( -3x \) y \( 9 \), usando factorización prima.
\[ -3x + 9 = -\color{red}{3} \cdot x + \color{red}{3} \cdot 3 \]El máximo factor común es \( \color{red}{3} \), que se factoriza. Por lo tanto,
\[ -3x + 9 = \color{red}{3}(-x + 3) = -3(x - 3) \]b)
Escribe la factorización prima de cada uno de los términos en el polinomio dado \( 28x + 2x^2 \).
\[ 28x + 2x^2 = \color{red}{2} \cdot 2 \cdot 7 \cdot \color{red}{x} + \color{red}{2} \cdot \color{red}{x} \cdot x \]El máximo factor común es \( \color{red}{2x} \), y se factoriza. Por lo tanto,
\[ 28x + 2x^2 = \color{red}{2x}(14 + x) \]c)
Escribe la factorización prima de cada uno de los términos en el polinomio dado \( 11xy + 55x^2y \).
\[ 11xy + 55x^2y = \color{red}{11} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} + 5 \cdot \color{red}{11} \cdot \color{red}{x} \cdot x \cdot \color{red}{y} \]El máximo factor común es \( \color{red}{11xy} \), que se factoriza. Por lo tanto,
\[ 11xy + 55x^2y = \color{red}{11xy}(1 + 5x) \]d)
Escribe la factorización prima de cada uno de los términos en el polinomio dado \( 20xy + 35x^2y - 15xy^2 \).
\[ 20xy + 35x^2y - 15xy^2 = 2 \cdot 2 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} + \color{red}{5} \cdot 7 \cdot \color{red}{x} \cdot x \cdot \color{red}{y} - 3 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} \cdot y \]El máximo factor común es \( \color{red}{5xy} \), y se factoriza. Por lo tanto,
\[ 20xy + 35x^2y - 15xy^2 = \color{red}{5xy}(4 + 7x - 3y) \]e)
Comenzamos factorizando el factor común \( (x + 1) \) en el polinomio dado.
\[ 5y(x + 1) + 10y^2(x + 1) - 15xy(x + 1) = (x + 1)(5y + 10y^2 - 15xy) \]
Ahora factorizamos el polinomio \( 5y + 10y^2 - 15xy \) usando el máximo factor común (MFC) de los tres términos.
\[ 5y + 10y^2 - 15xy = \color{red}{5 \cdot y} + 2 \cdot \color{red}{5 \cdot y} \cdot y - 3 \cdot \color{red}{5 \cdot y} \cdot x = \color{red}{5 \cdot y}(1 + 2y - 3x) \]
El polinomio dado puede factorizarse de la siguiente manera:
\[ 5y(x + 1) + 10y^2(x + 1) - 15xy(x + 1) = 5y(x + 1)(1 + 2y - 3x) \]