Examen de práctica de matemáticas de grado 12: 17 problemas con soluciones

1. Mueve todos los términos a un lado:

\[ \frac{x+1}{x+2} - 1 - \frac{1}{x-1} \geq 0 \]

2. Encuentra un denominador común, que es $(x+2)(x-1)$:

\[ \frac{(x+1)(x-1) - (x+2)(x-1) - (x+2)}{(x+2)(x-1)} \geq 0 \] \[ \frac{(x^2-1) - (x^2+x-2) - (x+2)}{(x+2)(x-1)} \geq 0 \] \[ \frac{x^2 - 1 - x^2 - x + 2 - x - 2}{(x+2)(x-1)} \geq 0 \] \[ \frac{-2x - 1}{(x+2)(x-1)} \geq 0 \]

3. Identifica los puntos críticos: $x = -0.5$ (numerador cero), $x = -2$ y $x = 1$ (denominador indefinido).

4. Prueba los intervalos:

• $(-\infty, -2)$: Prueba $x = -3 \implies \frac{5}{(-1)(-4)} > 0$ (Verdadero)
• $(-2, -0.5]$: Prueba $x = -1 \implies \frac{1}{(1)(-2)} < 0$ (Falso)
• $[-0.5, 1)$: Prueba $x = 0 \implies \frac{-1}{(2)(-1)} > 0$ (Verdadero)
• $(1, \infty)$: Prueba $x = 2 \implies \frac{-5}{(4)(1)} < 0$ (Falso)

Conjunto solución:

Desigualdad: $x < -2$ o $-0.5 \leq x < 1$

Intervalo: $(-\infty, -2) \cup [-0.5, 1)$

1. Reescribe $1/\sec x$ como $\cos x$:

\[ \cos(2x) - 2\cos x = 2 \]

2. Usa la identidad de ángulo doble $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$:

\[ 2\cos^2 x - 1 - 2\cos x = 2 \] \[ 2\cos^2 x - 2\cos x - 3 = 0 \]

3. Aplica la fórmula cuadrática para $\cos x$:

\[ \cos x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{2} \]

4. Evalúa los valores:

• $\frac{1 + \sqrt{7}}{2} \approx 1.82$ (Imposible, ya que $|\cos x| \leq 1$)
• $\frac{1 - \sqrt{7}}{2} \approx -0.823$ (Válido)

5. Encuentra $x$: $x = \arccos\left(\frac{1-\sqrt{7}}{2}\right)$. Esto ocurre en los cuadrantes II y III.

$x \approx 2.54 \text{ rad}$ y $x \approx 3.74 \text{ rad}$.

1. Combina los logaritmos usando la regla del cociente:

\[ \ln\left(\frac{x^2 + 2}{x - 1}\right) = 2 \]

2. Convierte a la forma exponencial:

\[ \frac{x^2 + 2}{x - 1} = e^2 \]

3. Reorganiza en una ecuación cuadrática:

\[ x^2 + 2 = e^2(x - 1) \implies x^2 - e^2x + (e^2 + 2) = 0 \]

4. Resuelve usando la fórmula cuadrática:

\[ x = \frac{e^2 \pm \sqrt{(-e^2)^2 - 4(1)(e^2 + 2)}}{2} \]

Nota: $x$ debe ser mayor que 1 para que el $\ln(x-1)$ original esté definido. Usa una calculadora para encontrar los valores decimales y verificar el dominio.

1. Sea $u = 2^x$. Entonces $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = u^2$.

2. Sustituye en la ecuación:

\[ 3u^2 + u - 30 = 0 \]

3. Factoriza la cuadrática:

\[ (3u + 10)(u - 3) = 0 \]

4. Resuelve para $u$:

• $u = -10/3$ (Rechazado, ya que $2^x$ debe ser positivo)
• $u = 3$ (Válido)

5. Resuelve para $x$:

\[ 2^x = 3 \implies x = \frac{\ln 3}{\ln 2} \approx 1.58 \]

1. Trabaja con el lado izquierdo (LHS). Usa $\tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}$:

\[ \text{LHS} = \frac{1}{2 \sin x} \cdot \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} \]

2. Usa la identidad de ángulo doble $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$:

\[ \text{LHS} = \frac{1}{2 \sin x} \cdot \frac{2 \sin x \cos x}{\cos(2x)} = \frac{\cos x}{\cos(2x)} \]

3. Trabaja con el lado derecho (RHS). Recuerda la identidad de ángulo doble $\cos(2x) = 1 - 2 \sin^2 x$:

\[ \text{RHS} = \frac{\cos x}{1 - 2 \sin^2 x} = \frac{\cos x}{\cos(2x)} \]

4. Conclusión: LHS = RHS. La identidad ha sido verificada.

1. Simplifica el ángulo: $\frac{13\pi}{12} = \pi + \frac{\pi}{12}$. Dado que $\tan(\pi + \theta) = \tan \theta$:

\[ \tan\left(\frac{13\pi}{12}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{12}\right) \]

2. Usa la identidad de diferencia $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ con $A = \frac{\pi}{4}$ y $B = \frac{\pi}{6}$:

\[ \tan\left(\frac{\pi}{12}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1 - 1/\sqrt{3}}{1 + (1)(1/\sqrt{3})} \]

3. Racionaliza y simplifica:

\[ = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3} \]

1. Del Teorema del Factor, como $x - 1$ es un factor, $P(1) = 0$.

2. Del Teorema del Residuo, $P(-1) = 4$ y $P(2) = 4$.

3. Sea $P(x) = (x - 1)(x^2 + bx + c)$ ya que el grado es 3 y el coeficiente principal es 1.

4. Usa $P(-1) = 4$:

\[ (-1 - 1)((-1)^2 - b + c) = 4 \implies -2(1 - b + c) = 4 \implies 1 - b + c = -2 \implies c - b = -3 \]

5. Usa $P(2) = 4$:

\[ (2 - 1)((2)^2 + 2b + c) = 4 \implies 1(4 + 2b + c) = 4 \implies 2b + c = 0 \implies c = -2b \]

6. Resuelve para $b, c$: Sustituye $c = -2b$ en $c - b = -3$:

\[ -2b - b = -3 \implies -3b = -3 \implies b = 1, \quad c = -2 \]

7. Polinomio final: $P(x) = (x-1)(x^2 + x - 2) = x^3 + x^2 - 2x - x^2 - x + 2 = x^3 - 3x + 2$.

1. Factoriza $-x$: $f(x) = -x(x^3 + 5x^2 + 3x - 9)$.

2. Prueba las raíces del término cúbico. $P(1) = 1 + 5 + 3 - 9 = 0$. Entonces $(x - 1)$ es un factor.

3. Usa división para encontrar el factor cuadrático: $x^3 + 5x^2 + 3x - 9 = (x - 1)(x^2 + 6x + 9)$.

4. Factoriza la cuadrática: $(x^2 + 6x + 9) = (x + 3)^2$.

Forma factorizada completa: $f(x) = -x(x - 1)(x + 3)^2$.

5. Ceros: $x = 0$ (mult 1), $x = 1$ (mult 1), $x = -3$ (mult 2).

1. Identifica los ceros y multiplicidades desde la gráfica:

• En $x = -2$: La gráfica cruza (multiplicidad 1).
• En $x = -1$: La gráfica toca (multiplicidad 2).
• En $x = 2$: La gráfica cruza (multiplicidad 1).

2. Escribe la forma general: $g(x) = a(x + 2)(x + 1)^2(x - 2)$.

3. Usa la intersección con el eje y $(0, 2)$ para resolver para $a$:

\[ 2 = a(0 + 2)(0 + 1)^2(0 - 2) \] \[ 2 = a(2)(1)(-2) \] \[ 2 = -4a \implies a = -0.5 \]

Ecuación final:

\[ g(x) = -0.5(x + 2)(x + 1)^2(x - 2) \]

1. Identifica los parámetros clave:

• Amplitud: 0.5 (Reflejada sobre la línea media)
• Período: $2\pi/4 = \pi/2$
• Desplazamiento de fase: $-\pi/16$ (izquierda)
• Desplazamiento vertical (línea media): $y = 2.5$

2. Puntos clave (comienza en el desplazamiento de fase, incrementa por Período/4 = $\pi/8$):

• $x = -\pi/16 \implies y = 2.5$
• $x = \pi/16 \implies y = 2.0$ (mínimo debido al seno negativo)
• $x = 3\pi/16 \implies y = 2.5$
• $x = 5\pi/16 \implies y = 3.0$ (máximo)
• $x = 7\pi/16 \implies y = 2.5$

3. Gráfica de $y = - 0.5 \sin \left( 4(x+\dfrac{\pi}{16}) \right) + 2.5$:

1. Encuentra la amplitud ($A$): Máx = 1, Mín = 0.

\[ A = \frac{\text{Máx} - \text{Mín}}{2} = \frac{1 - 0}{2} = 0.5 \]

2. Encuentra el desplazamiento vertical ($d$):

\[ d = \frac{\text{Máx} + \text{Mín}}{2} = \frac{1 + 0}{2} = 0.5 \]

3. Encuentra el período ($P$): Dado como 3 segundos.

4. Calcula $b$:

\[ b = \frac{2\pi}{P} = \frac{2\pi}{3} \]

5. Encuentra el desplazamiento de fase ($c$): Para una función coseno, el desplazamiento corresponde a la posición horizontal del máximo. El problema establece que el máximo está en $t = 2.25$.

\[ c = 2.25 \]

Ecuación final:

\[ V(t) = 0.5 \cos\left(\frac{2\pi}{3}(t - 2.25)\right) + 0.5 \]

a) Dominio: Todos los números reales excepto donde el denominador es cero. $x \neq -2$.

b) Intersecciones:

• Intersección x (iguala $y=0$): $2x - 4 = 0 \implies x = 2$.
• Intersección y (iguala $x=0$): $y = -4/2 = -2$.

c) Asíntotas:

• Vertical: $x = -2$.
• Horizontal (límite cuando $x \to \infty$): $y = 2/1 = 2$.

Gráfica de $y = \dfrac{2 x - 4}{x+2}$:

a) Dominio: $x \in \mathbb{R}, x \neq -2$.

b) Intersecciones: Intersección x en $x = \pm 3$; intersección y en $y = -4.5$.

c) Asíntotas:

• Vertical: $x = -2$.
• Horizontal: Ninguna (grado del numerador > denominador).
• Oblicua: Usa división larga. $(x^2-9) \div (x+2) = (x-2)$ con residuo $-5$. La asíntota es $y = x - 2$.

Tabla de signos:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, -3) & -3 & (-3, -2) & -2 & (-2, 3) & 3 & (3, \infty) \\ \hline (x+3) & - & 0 & + & + & + & + & + \\ \hline (x-3) & - & - & - & - & - & 0 & + \\ \hline (x+2) & - & - & - & \text{ind} & + & + & + \\ \hline y = \frac{(x+3)(x-3)}{x+2} & \mathbf{-} & 0 & \mathbf{+} & \text{ind} & \mathbf{-} & 0 & \mathbf{+} \\ \hline \text{Posición} & \text{Debajo} & \text{Int-x} & \text{Arriba} & \text{AV} & \text{Debajo} & \text{Int-x} & \text{Arriba} \\ \hline \end{array} \]

1. Identifica el agujero: El agujero está en $x = 2$. Esto significa que $(x - 2)$ debe ser un factor tanto en el numerador como en el denominador.

2. Identifica la asíntota vertical: AV en $x = 1$. Esto significa que $(x - 1)$ es un factor en el denominador.

3. Identifica la asíntota horizontal (AH): La AH está en $y = 0$. Esto confirma que el grado del denominador (grado 2) es mayor que el grado del numerador (que debe ser grado 1).

4. Construye la función:

\[ h(x) = a \cdot \frac{x - 2}{(x - 1)(x - 2)} = a \cdot \frac{1}{(x - 1)} \]

5. Determina la constante \( a \) usando el agujero en $(2, 2)$ :

\[ 2 = a \cdot \frac{1}{(2 - 1)} \implies a = 2 \]

6. Ecuación final:

\[ h(x) = \frac{2(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)} \]

Nota: La forma simplificada para esbozar (excluyendo el agujero) es \( y = \dfrac{2}{x - 1} \).

a) Dominio: El argumento debe ser positivo. $x^2 - 1 > 0 \implies x^2 > 1 \implies x > 1$ o $x < -1$.

b) Intersecciones: No hay intersección y (0 no está en el dominio). Para la intersección x, iguala $y=0$:

\[ -0.5 \log_2(x^2 - 1) = 1 \implies \log_2(x^2 - 1) = -2 \implies x^2 - 1 = 2^{-2} = 0.25 \] \[ x^2 = 1.25 \implies x \approx \pm 1.12 \]

c) Asíntotas: Asíntotas verticales donde el argumento se acerca a cero: $x = 1$ y $x = -1$.

d) Nota que $f(-x) = f(x)$ y, por lo tanto, la gráfica es simétrica con respecto al eje y.

Gráfica de $ y = -0.5 \log_2(x^2 - 1)-1 $:

a) Dominio: Todos los números reales $(-\infty, \infty)$.

b) Intersecciones: Intersección y en $x = 0 \implies y = 2 + e^{-2} \approx 2.135$. No hay intersección x porque $e^{(x-2)} + 2$ es siempre mayor que 2.

c) Asíntotas: La asíntota horizontal cuando $x \to -\infty$ es $y = 2$.

Gráfica de $ y = 2 + e^{(x-2)} $:

a) Dominio: $2x - 1 > 0 \implies x > 0.5$. Rango: Todos los números reales.

b) Encontrar la función inversa:

\[ x = \ln(2y - 1) + 2 \] \[ x - 2 = \ln(2y - 1) \] \[ e^{x-2} = 2y - 1 \] \[ y = \frac{e^{x-2} + 1}{2} \]

Función inversa: $h^{-1}(x) = 0.5(e^{x-2} + 1)$.

Dominio de la inversa: Todos los números reales. Rango de la inversa: $y > 0.5$.