Esta página revisa las ideas principales detrás de la pendiente de una recta y las diferentes formas de ecuaciones lineales. Después de un resumen conciso de la teoría, encontrarás preguntas de práctica cuidadosamente seleccionadas con soluciones completas y paso a paso.
Si una recta pasa por dos puntos distintos \( P_1(x_1, y_1) \) y \( P_2(x_2, y_2) \), su pendiente se define por
\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \qquad x_2 \neq x_1. \]
La forma general (o estándar) de la ecuación de una línea recta es
\[ Ax + By = C, \]
donde \(A\), \(B\) y \(C\) son constantes, y \(A\) y \(B\) no son ambos cero. Cada línea recta en el plano cartesiano se puede representar en esta forma.
Si se conoce la pendiente \(m\) de una recta, su ecuación se puede escribir como
\[ y = mx + b, \]
donde \(m\) es la pendiente y \(b\) es la intersección con el eje \(y\). Esto se llama la forma pendiente–ordenada.
Una ecuación de una recta con pendiente \(m\) que pasa por el punto \(P(x_1, y_1)\) es
\[ y - y_1 = m(x - x_1). \]
Si \(A = 0\) en la ecuación general \(Ax + By = C\), obtenemos
\[ By = C \quad \Rightarrow \quad y = \frac{C}{B} = k, \]
que representa una recta horizontal con pendiente \(0\).
Si \(B = 0\), entonces
\[ Ax = C \quad \Rightarrow \quad x = \frac{C}{A} = h, \]
que representa una recta vertical con pendiente indefinida.
Dos rectas no verticales son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales.
Dos rectas no verticales son perpendiculares si y solo si sus pendientes \(m_1\) y \(m_2\) satisfacen
\[ m_1 m_2 = -1. \]
Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados:
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por \((-2, 5)\) y tiene pendiente \(-4\).
Usando la forma punto–pendiente,
\[ y - 5 = -4(x + 2). \]
\[ y = -4x - 3. \]
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por \((0, -1)\) y \((3, 5)\).
Primero calcula la pendiente:
\[ m = \frac{5 - (-1)}{3 - 0} = 2. \]
Usando la forma punto–pendiente con \((0, -1)\):
\[ y + 1 = 2x \quad \Rightarrow \quad y = 2x - 1. \]
Encuentra la pendiente de la recta dada por
\[ -2x + 4y = 6. \]
Reescribe en forma pendiente–ordenada:
\[ 4y = 2x + 6 \quad \Rightarrow \quad y = \tfrac{1}{2}x + \tfrac{3}{2}. \]
La pendiente es \(\tfrac{1}{2}\).