Pendiente de una Recta
Definición de Pendiente
La pendiente de una recta mide su inclinación y tasa de cambio. Dados dos puntos \(A(x_A,y_A)\) y \(B(x_B,y_B)\), la pendiente \(m\) se define como:
\[ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \]
Donde \(\Delta y = y_B - y_A\) es el cambio vertical (elevación) y \(\Delta x = x_B - x_A\) es el cambio horizontal (avance).
Casos Especiales
Rectas Horizontales
Para rectas horizontales, \(y_A = y_B\), entonces:
\[ m = \frac{0}{x_B - x_A} = 0 \]
La ecuación de una recta horizontal es \(y = \text{constante}\).
Rectas Verticales
Para rectas verticales, \(x_A = x_B\), entonces:
\[ m = \frac{y_B - y_A}{0} = \text{indefinida} \]
La ecuación de una recta vertical es \(x = \text{constante}\).
Problemas de Ejemplo
Ejemplo 1: Cálculo de Pendientes
Determina las pendientes de las rectas que pasan por los puntos dados:
- \(L_1: (2,3), (4,9) \quad m_1 = \frac{9-3}{4-2} = 3\) (ascendente)
- \(L_2: (-1,0), (6,-8) \quad m_2 = \frac{-8-0}{6-(-1)} = -\frac{8}{7}\) (descendente)
- \(L_3: (-5,1), (-5,3) \quad m_3 = \frac{3-1}{-5-(-5)} = \text{indefinida}\) (vertical)
- \(L_4: (7,-3), (-5,-3) \quad m_4 = \frac{-3-(-3)}{-5-7} = 0\) (horizontal)
Ejemplo 2: Rectas Paralelas y Perpendiculares
Dadas las rectas:
- \(L_1: (0,0), (2,4) \quad m_1 = 2\)
- \(L_2: (0,0), (-2,1) \quad m_2 = -\frac{1}{2}\)
- \(L_3: (1,1), (3,5) \quad m_3 = 2\)
Como \(m_1 = m_3\), \(L_1\) y \(L_3\) son paralelas. Como \(m_1 \times m_2 = -1\), \(L_1\) y \(L_2\) son perpendiculares.
Explorador Interactivo de Pendiente
Cómo Usar el Gráfico Interactivo:
- Arrastra los puntos A y B para cambiar la pendiente de la recta
- Observa cómo el cálculo de la pendiente se actualiza en tiempo real
- Visualiza el triángulo de elevación/avance y la ecuación de la recta
- O ingresa coordenadas abajo y haz clic en "Actualizar desde Coordenadas"
Entrada de Coordenadas (Alternativa a Arrastrar)
¡Consejo: Arrastra los puntos azules en el gráfico para control interactivo!
Cálculo de la Pendiente
Fórmula: \(m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{\text{Elevación}}{\text{Avance}}\)
Pendiente (m): 0,833 = 5/6
Ecuación de la recta: y = 5/6x - 1,333
\[y = \frac{5}{6}x - 1,333\]
Actividades de Exploración
- Arrastra el punto A o B para crear diferentes pendientes
- Haz una recta horizontal arrastrando los puntos hasta que tengan la misma coordenada y (\(y_A = y_B\))
- Haz una recta vertical arrastrando los puntos hasta que tengan la misma coordenada x (\(x_A = x_B\))
- Crea pendientes positivas (la recta asciende de izquierda a derecha)
- Crea pendientes negativas (la recta desciende de izquierda a derecha)
- Observa cómo cambia el triángulo de elevación/avance
- Nota que pendiente = elevación/avance = (\(y_B - y_A\))/(\(x_B - x_A\))
Recursos Relacionados