Los vectores ortogonales se definen y se presentan ejemplos junto con sus soluciones detalladas.
Dos vectores \( \textbf x =
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
. \\
. \\
. \\
x_n
\end{bmatrix}
\) y
\( \textbf y =
\begin{bmatrix}
y_1 \\
y_2 \\
. \\
. \\
. \\
y_n
\end{bmatrix}
\)
son ortogonales si y solo si su producto interno \( \textbf x \cdot \textbf y \) es igual a cero.
Por lo tanto
Los vectores \( \textbf x \) y \( \textbf y \) son ortogonales \( \iff \) \( \textbf x \cdot \textbf y = x_1 y_1 + x_2 y_2 + ... + x_n y_n = 0 \)
A continuación se muestran dos vectores bidimensionales \( \textbf x = \begin{bmatrix}
3 \\
2
\end{bmatrix} \) y \( \textbf y = \begin{bmatrix}
-2 \\
3
\end{bmatrix} \) cuyo producto interno es \( \textbf x \cdot \textbf y = (3)(-2)+(-2)(3) = 6 - 6 = 0 \) y por lo tanto son ortogonales. Forman un ángulo de \( 90^{\circ} \) o \( \dfrac{\pi}{2} \)
A continuación se muestran dos vectores tridimensionales \( \textbf u = \begin{bmatrix}
-2 \\
2 \\
3
\end{bmatrix} \) y \( \textbf v = \begin{bmatrix}
2\\
-1 \\
2
\end{bmatrix} \) cuyo producto interno es \( \textbf x \cdot \textbf y = (-2)(2)+(2)(-1) +(3)(2) = -4 - 2 + 6 = 0 \) y por lo tanto son ortogonales. Forman un ángulo de \( 90^{\circ} \) o \( \dfrac{\pi}{2} \)
Ejemplo 1
a) ¿Son los vectores \( \textbf x = \begin{bmatrix}
-1 \\
3 \\
1
\end{bmatrix} \) y
\( y = \begin{bmatrix}
-2 \\
3 \\
-11
\end{bmatrix} \) ortogonales?
b) ¿Son los vectores \( \textbf u = \begin{bmatrix}
0 \\
-3 \\
1 \\
8
\end{bmatrix} \) y
\( \textbf v = \begin{bmatrix}
3 \\
5 \\
-2 \\
2
\end{bmatrix} \) ortogonales?
Solución del Ejemplo 1
a)
El producto interno de los vectores \( \textbf x \) y \( \textbf y \) es
\( \textbf x \cdot \textbf y = (-1)(-2)+(3)(3)+(1)(-11) = 2 +9 -11 = 0 \)
El producto interno es igual a cero y por lo tanto los dos vectores \( \textbf x \) y \( \textbf y \) son ortogonales.
b)
El producto interno de los vectores \( \textbf u \) y \( \textbf v \) es
\( \textbf u \cdot \textbf v = (0)(3) + (-3)(5) + (1)(-2) + (8)(2) = 0 -15 -2 + 16 = -1 \)
El producto interno NO es igual a cero y por lo tanto los dos vectores \( \textbf x \) y \( \textbf y \) NO son ortogonales.
Ejemplo 2
Sean los vectores \( \textbf u = \begin{bmatrix}
1\\
0 \\
-1
\end{bmatrix} \) ,
\( \textbf v = \begin{bmatrix}
-2 \\
1 \\
-2
\end{bmatrix} \) . Encuentre un vector \( \textbf w \) que sea ortogonal a los vectores \( \textbf u \) y \( \textbf v \).
Solución del Ejemplo 2
Usando determinantes de matrices, el producto cruz de los vectores
\( \textbf u = \begin{bmatrix}
u_x \\
u_y \\
u_z
\end{bmatrix}
\) y \( \textbf v = \begin{bmatrix}
v_x \\
v_y \\
v_z
\end{bmatrix} \) es un vector definido por:
Ejemplo 3
Encuentre las constantes \( a \) y \( b \) tales que los vectores \( \textbf u
\begin{bmatrix}
a\\
4 \\
-b
\end{bmatrix}
\) y
\( \textbf u
\begin{bmatrix}
a\\
1 \\
b
\end{bmatrix}
\) son ortogonales y \( a = b + 1\).
Solución del Ejemplo 3
Los vectores \( \textbf u \) y \( \textbf v \) son ortogonales, por lo tanto su producto interno es igual a cero
\( a^2 + 4 - b^2 = 0 \)
Dado que \( a = b + 1\), sustituya \( a \) por \( b + 1\) en la ecuación anterior
\( (b+1)^2 + 4 - b^2 = 0 \)
Expanda la ecuación anterior y simplifique
\( 2 b + 5 = 0 \)
Resuelva para \( b \)
\( b = -\dfrac{5}{2} \)
Encuentre \( a \)
\( a = b + 1 = -\dfrac{5}{2} + 1 = -\dfrac{3}{2} \)
Por lo tanto, los vectores \( \textbf u \) y \( \textbf v \) definidos anteriormente son ortogonales para \( a = -\dfrac{3}{2} \) y \( b = -\dfrac{5}{2} \) .
Ejemplo 4
\( \textbf u \), \( \textbf v \) y \( \textbf w \) son vectores en \( R^n \) tales que \[ \textbf w = \textbf v - 4 \alpha \textbf u \] donde \( \alpha \) es un número real.
Encuentre \( \alpha \) si \( \textbf u \) y \( \textbf w \) son ortogonales, la norma de \( \textbf u \) es igual a 5 y \( \textbf u^T \textbf v = 3 \).
Solución del Ejemplo 4
Dado que \( \textbf u \) y \( \textbf w \) son ortogonales, su producto interno es igual a cero; por lo tanto
\( \textbf u \cdot \textbf w = 0 \)
Dado que \( \textbf w = \textbf v - 4 \alpha \textbf u \), sustituya \( \textbf w \) por \( \textbf v - 4 \alpha \textbf u \) en la ecuación anterior
\( \textbf u \cdot (\textbf v - 4 \alpha \textbf u) = 0 \)
Use la distributividad y asociatividad del producto interno para expandir el lado izquierdo de la ecuación anterior
\( \textbf u \cdot \textbf v - 4 \alpha \textbf u \cdot \textbf u = 0 \) (I)
La expresión \( \textbf u^T \textbf v \) es otra forma de escribir el producto interno de \( \textbf u \) y \( \textbf v \) ; por lo tanto
\( \textbf u \cdot \textbf v = \textbf u^T \textbf v = 3 \)
La norma de un vector se define como
\( ||\textbf u|| = \sqrt {\textbf u \cdot \textbf u} \)
Dado que la norma de \( \textbf u \) escrita como \( ||\textbf u|| \) se da y es igual a 5, tenemos
\( \textbf u \cdot \textbf u = ||\textbf u||^2 = 5^2 \)
Sustituya \( \textbf u \cdot \textbf v \) y \( \textbf u \cdot \textbf u \) por sus valores en la ecuación (I) anterior para obtener
\( 3 - 4 \alpha (25) = 0 \)
Resuelva la ecuación anterior para \( \alpha \) para obtener
\( \alpha = \dfrac{3}{100} \)
Ejemplo 5
Encuentre todos los valores de \( \theta \) tales que los vectores \( \textbf u
\begin{bmatrix}
\sin(\theta) \\
\cos(\theta)
\end{bmatrix}
\) y
\( \textbf v
\begin{bmatrix}
-1 \\
1
\end{bmatrix}
\) son ortogonales.
Solución del Ejemplo 5
Para que los vectores \( \textbf u \) y \( \textbf v \) sean ortogonales, el producto interno debe ser igual a 0. Por lo tanto
\( \sin(\theta) (-1) + \cos(\theta) (1) = 0 \)
La ecuación anterior se puede escribir como
\( \sin(\theta) = \cos(\theta) \)
Divida ambos lados de la ecuación anterior por \( \cos(\theta) \)
\( \dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \dfrac{\cos(\theta)}{\cos(\theta)} \)
Simplifique y reescriba como
\( \tan (\theta ) = 1 \)
Resuelva para \( \theta \)
\( \theta = \dfrac{\pi}{4} + n \pi \)
Ejemplo 6
Sean \( \textbf u =
\begin{bmatrix}
\sin(\theta) \cos (\phi) \\
\sin(\theta) \sin (\phi) \\
\cos (\theta)
\end{bmatrix}
\) ,
\( \textbf v =
\begin{bmatrix}
\cos(\theta) \cos (\phi) \\
\cos(\theta) \sin (\phi) \\
-\sin (\theta)
\end{bmatrix}
\) y
\( \textbf w =
\begin{bmatrix}
-\sin (\phi) \\
\cos (\phi) \\
0
\end{bmatrix}
\). Demuestre que cada uno de estos vectores es ortogonal a los otros dos vectores.
Solución del Ejemplo 6
Calculamos el producto interno de cada par de vectores
\( \textbf u \cdot \textbf v = [\sin(\theta) \cos (\phi)] \; [\cos(\theta) \cos (\phi)] + [\sin(\theta) \sin (\phi)] \; [\cos(\theta) \sin (\phi)] + [\cos (\theta)] \; [-\sin (\theta)] \)
Factorice \( \sin(\theta) \cos(\theta) \) del primer y segundo término
\( = [\sin(\theta) \cos(\theta) ] \; [\cos^2 (\phi) + \sin^2 (\phi)] - \cos (\theta) \sin (\theta) \)
Use la identidad \( \cos^2 (\phi) + \sin^2 (\phi) = 1 \) para simplificar
\( = \sin(\theta) \cos(\theta) - \cos (\theta) \sin (\theta) = 0 \)
\( \textbf u \cdot \textbf w = [\sin(\theta) \cos (\phi)] \; [-\sin (\phi)] + [\sin(\theta) \sin (\phi)] \; [\cos (\phi)] +[\cos (\theta)][0] \)
Factorice \( \sin(\theta) \cos(\phi) \) del primer y segundo término y simplifique
\( = [ \sin(\theta) \cos(\phi) ] \; [ -\sin (\phi) + \sin (\phi)] + 0 = 0 \)
\( \textbf v \cdot \textbf w = [\cos(\theta) \cos (\phi)] \; [-\sin (\phi)] + [\cos(\theta) \sin (\phi)] \; [\cos (\phi)] +[-\sin (\theta)] \; [0] \)
Factorice \( \cos(\theta) \cos(\phi) \) del primer y segundo término y simplifique
\( = [ \cos(\theta) \cos(\phi) ] \; [ -\sin (\phi) + \sin (\phi)] + 0 = 0 \)
El producto interno de cada par de vectores es igual a cero y por lo tanto cada vector es ortogonal a los otros dos vectores.