Resuelve Ecuaciones Logarítmicas – Soluciones Detalladas Paso a Paso
Esta página presenta ejemplos resueltos sobre cómo resolver
ecuaciones logarítmicas,
incluyendo varios problemas desafiantes. Los ejemplos 4, 5, 6 y 7 involucran
logaritmos con diferentes bases y requieren la fórmula de cambio de base.
Ejemplo 1:
Resuelve la ecuación logarítmica
\[
\log_{2}(x - 1) = 5
\]
Solución
-
Reescribe la ecuación logarítmica en forma exponencial:
\[
x - 1 = 2^{5}
\]
-
Resuelve para \(x\):
\[
x = 33
\]
-
Verificación:
\[
\log_{2}(33 - 1) = \log_{2}(32) = \log_{2}(2^{5}) = 5
\]
-
Conclusión: La solución es \(x = 33\).
Ejemplo 2:
Resuelve la ecuación logarítmica
\[
\log_{5}(x - 2) + \log_{5}(x + 2) = 1
\]
Solución
-
Aplica la regla del producto:
\[
\log_{5}\big((x - 2)(x + 2)\big) = 1
\]
-
Reescribe en forma exponencial:
\[
(x - 2)(x + 2) = 5^{1}
\]
-
Simplifica:
\[
x^{2} - 4 = 5 \quad \Rightarrow \quad x^{2} = 9
\]
-
Resuelve:
\[
x = 3 \quad \text{o} \quad x = -3
\]
-
Verificación:
-
Para \(x = 3\):
\[
\log_{5}(1) + \log_{5}(5) = 0 + 1 = 1
\]
-
Para \(x = -3\), los logaritmos
\(\log_{5}(-5)\) y \(\log_{5}(-1)\) no están definidos.
-
Conclusión: La única solución es \(x = 3\).
Ejemplo 3:
Resuelve la ecuación logarítmica
\[
\log_{3}(x - 2) + \log_{3}(x - 4)
= \log_{3}(2x^{2} + 139) - 1
\]
Solución
-
Reescribe \(1\) como \(\log_{3}(3)\):
\[
\log_{3}(x - 2) + \log_{3}(x - 4)
= \log_{3}(2x^{2} + 139) - \log_{3}(3)
\]
-
Aplica las reglas del producto y del cociente:
\[
\log_{3}\big((x - 2)(x - 4)\big)
= \log_{3}\!\left(\frac{2x^{2} + 139}{3}\right)
\]
-
Iguala los argumentos:
\[
(x - 2)(x - 4) = \frac{2x^{2} + 139}{3}
\]
-
Multiplica por 3 y simplifica:
\[
3(x - 2)(x - 4) = 2x^{2} + 139
\]
-
La resolución da:
\[
x = -5 \quad \text{o} \quad x = 23
\]
-
Verificación:
- \(x = -5\) no es válido (argumentos de logaritmo negativos).
-
Para \(x = 23\):
\[
\log_{3}(21 \cdot 19) = \log_{3}(399)
\]
y
\[
\log_{3}\!\left(\frac{1197}{3}\right) = \log_{3}(399)
\]
-
Conclusión: La solución es \(x = 23\).
Ejemplo 4:
Resuelve la ecuación logarítmica
\[
\log_{4}(x + 1) + \log_{16}(x + 1) = \log_{4}(8)
\]
Solución
-
Convierte la base 16 a base 4:
\[
\log_{16}(x + 1)
= \frac{\log_{4}(x + 1)}{\log_{4}(16)}
= \frac{1}{2}\log_{4}(x + 1)
\]
-
Reescribe la ecuación:
\[
\log_{4}(x + 1) + \frac{1}{2}\log_{4}(x + 1) = \log_{4}(8)
\]
-
Combina:
\[
\frac{3}{2}\log_{4}(x + 1) = \log_{4}(8)
\]
-
Convierte a forma exponencial:
\[
(x + 1)^{3/2} = 8
\]
-
Resuelve:
\[
x = 3
\]
-
Conclusión: La solución es \(x = 3\).
Ejemplo 5:
Resuelve la ecuación logarítmica
\[
\log_{2}(x - 4) + \log_{\sqrt{2}}(x^{3} - 2)
+ \log_{0.5}(x - 4) = 20
\]
Solución
-
Usa el cambio de base:
\[
\log_{\sqrt{2}}(x^{3} - 2) = 2\log_{2}(x^{3} - 2)
\]
\[
\log_{0.5}(x - 4) = -\log_{2}(x - 4)
\]
-
Sustituye y simplifica:
\[
2\log_{2}(x^{3} - 2) = 20
\]
-
Resuelve:
\[
\log_{2}(x^{3} - 2) = 10
\]
\[
x^{3} - 2 = 2^{10}
\]
\[
x = \sqrt[3]{1026}
\]
Ejemplo 6:
Resuelve la ecuación logarítmica
\[
\ln(x + 6) + \log(x + 6) = 4
\]
Solución
-
Convierte el logaritmo en base 10:
\[
\log(x + 6) = \frac{\ln(x + 6)}{\ln(10)}
\]
-
Resuelve:
\[
\ln(x + 6)\left(1 + \frac{1}{\ln(10)}\right) = 4
\]
\[
\ln(x + 6) = \frac{4\ln(10)}{1 + \ln(10)}
\]
-
Respuesta final:
\[
x = e^{\frac{4\ln(10)}{1 + \ln(10)}} - 6
\]
Ejemplo 7:
Resuelve la ecuación logarítmica
\[
\log_{5}(\ln(x + 3) - 1)
+ \log_{1/5}(\ln(x + 3) - 1) = 0
\]
Solución
-
Usa el cambio de base:
\[
\log_{1/5}(A) = -\log_{5}(A)
\]
-
La ecuación se convierte en:
\[
\log_{5}(A) - \log_{5}(A) = 0
\]
-
La ecuación es una identidad siempre que los argumentos estén definidos:
\[
x > -3 \quad \text{y} \quad \ln(x + 3) > 1
\]
-
Resuelve:
\[
x > e - 3
\]
-
Conclusión:
El conjunto solución es \((e - 3, +\infty)\).
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