Se presentan ejemplos de grado 9 sobre la suma, resta, multiplicación, división y simplificación de monomios, junto con sus soluciones detalladas. También se incluyen más preguntas con sus soluciones y explicaciones detalladas.
Un monomio es el producto de un número real y variables elevadas a potencias enteras no negativas (exponentes).
Toma un número, por ejemplo \( -2 \), y una variable con exponentes igual a \( 2 \), por ejemplo \( x^2 \), y multiplícalos para obtener:
\( \quad -2 \times x^2 \)
Ahora, por simplicidad, elimina el símbolo de multiplicación y escríbelo como:
\(\quad -2 x^2 \) para obtener un monomio.
Estos son ejemplos de monomios:
\( \quad x , 2 x , 3x^2 , -0.1 x , - \dfrac{3}{4} x^2 y^2 , - y \)
El coeficiente de un monomio es la parte numérica (la que está al frente) del monomio.
El coeficiente del monomio \( \color{red}{2} x \) es \( \color{red}{2} \).
El coeficiente del monomio \( \color{red}{-3} x^2 \) es \( \color{red}{-3} \).
El coeficiente del monomio \( \color{red}{- \dfrac{5}{2}} y^3 x \) es \( \color{red}{- \dfrac{5}{2}} \).
El coeficiente del monomio \( x = \color{red}{1} x\) es \( \color{red}{1} \) NOTA: no se escribe \( 1 x \), sino \( x \) por simplicidad.
El coeficiente del monomio \( - x^2 = \color{red}{-1} x^2 \) es \( \color{red}{-1} \) NOTA: no se escribe \( -1 x^2 \), sino \( - x^2 \) por simplicidad.
Solo podemos sumar y restar monomios con términos semejantes que tengan las mismas variables elevadas a la misma potencia.
Ejemplos de monomios con términos semejantes:
\( \quad -3 x^2 , 4 x^2 , - x^2 \) son todos monomios con términos semejantes \( x^2 \) y se pueden sumar.
\( \quad - y^2 x , 4 y^2 x , - x y^2 \) son todos monomios con términos semejantes \( x y^2 \) y se pueden sumar.
NOTA: los términos \( x y^2 \) y \( y^2 x \) son iguales.
Suma y/o resta los siguientes monomios:
a) \(2 x + 4 x\) b) \( 3 x^2 - x^2 \) c) \( x y - 5 x y \) d) \( 3 x^2 y - x^2 y + 4 y x^2 \) e) \( - x + x \)
Solución al Ejemplo 3
a)
\( \quad \quad \begin{split}
\color{red}{2}x + \color{red}{4} x & = \color{red}{(2 + 4)} x \quad \quad \text{factoriza la variable \( x \) y coloca todos los coeficientes entre paréntesis}\\\\
& = 6 x \quad \quad \text{suma los coeficientes entre paréntesis}
\end{split} \)
b)
\( \quad \quad \begin{split}
\color{red}{3} x^2 \color{red}{-1} x^2 & = \color{red}{(3 - 1)} x^2 \quad \quad \text{factoriza la variable \( x^2 \) y coloca todos los coeficientes entre paréntesis}\\\\
& = 2 x^2 \quad \quad \text{suma/resta los coeficientes entre paréntesis}
\end{split} \)
c)
\( \quad \quad \begin{split}
\color{red}{1} x y \color{red}{-5} x y & = \color{red}{(1 - 5)} x y \quad \quad \text{factoriza la variable \( x y \) y coloca todos los coeficientes entre paréntesis}\\\\
& = -4 x y \quad \quad \text{suma/resta los coeficientes entre paréntesis}
\end{split} \)
d)
\( \quad \quad \begin{split}
3 x^2 y - x^2 y + 4 y x^2 & = \color{red}{(3-1+4)} x^2 y \quad \quad \text{factoriza la variable \( x^2 y \) y coloca todos los coeficientes entre paréntesis}\\\\
& = 6 x^2 y \quad \quad \text{suma/resta los coeficientes entre paréntesis}
\end{split} \)
NOTA: en el ejemplo anterior, parte d), los términos \( x^2 y \) y \( y x^2\) son iguales.
e)
\( \quad \quad \begin{split}
- x + x & = (-1 + 1) x \quad \quad \text{factoriza la variable \( x \) y coloca todos los coeficientes entre paréntesis}\\\\
& = (-1+1)x = 0 x = 0 \quad \quad \text{suma/resta los coeficientes entre paréntesis}
\end{split} \)
La siguiente regla de exponentes se usa ampliamente en la multiplicación de formas exponenciales:
\( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \)
Puedes multiplicar cualquier par de monomios y NO es necesario que tengan términos semejantes.
Multiplica los siguientes monomios:
a) \( ( x) (6 x) \) b) \( (3 x^2) (-2 x) \) c) \( (5 x^2 y) (- y^2 x) \) d) \( (\dfrac{2}{3} x y) (- \dfrac{5}{4} y z) \) e) \( (6) (- y z) \)
Solución al Ejemplo 4
a)
\( \quad \quad \begin{split}
( x) (6 x) & = (\color{red}{1} \color{blue}{x})(\color{red}{6} \color{blue}{x}) \quad \quad \text{identifica, si es necesario, los coeficientes y las variables de cada monomio}\\\\
& = \color{red}{(1 \cdot 6)} \color{blue}{(x \cdot x)} \quad \quad \text{multiplica los coeficientes y los términos con la misma variable por separado}\\\\
& = 6 x^{1+1} = 6 x^2 \quad \quad \text{evalúa la multiplicación de coeficientes y multiplica variables usando la regla de exponentes anterior}
\end{split} \)
b)
\( \quad \quad \begin{split}
(3 x^2) (-2 x) & = (\color{red}{3} \color{blue}{x^2})(\color{red}{(-2)} \color{blue}{x}) \quad \quad \text{identifica, si es necesario, los coeficientes y las variables de cada monomio}\\\\
& = \color{red}{(3 \cdot (-2))} \color{blue}{(x^2 \cdot x)} \quad \quad \text{multiplica los coeficientes y los términos con la misma variable por separado}\\\\
& = -6 x^{2+1} = -6 x^3 \quad \quad \text{evalúa la multiplicación de coeficientes y multiplica variables usando las reglas de exponentes}
\end{split} \)
c)
\( \quad \quad \begin{split}
(5 x^2 y) (- y^2 x) & = (5 x^2 y)((-1) y^2 x) \quad \quad \text{identifica, si es necesario, los coeficientes y las variables de cada monomio}\\\\
& = (5 \cdot (-1))(x^2 \cdot x)(y^2 \cdot y) \quad \quad \text{multiplica los coeficientes y los términos con la misma variable por separado}\\\\
& = -5 y^{2+1} x^{2+1} = -5 y^3 x^3 \quad \quad \text{evalúa la multiplicación de coeficientes y multiplica variables usando las reglas de exponentes}
\end{split} \)
d)
\( \quad \quad \begin{split}
(\dfrac{2}{3} x y) (- \dfrac{5}{4} y z) & = ((\dfrac{2}{3}) x y)((-\dfrac{5}{4}) y z) \quad \quad \text{identifica, si es necesario, los coeficientes y las variables de cada monomio}\\\\
& = (\dfrac{2}{3} \cdot (-\dfrac{5}{4}))(x)(y \cdot y)(z) \quad \quad \text{multiplica los coeficientes y los términos con la misma variable por separado}\\\\
& = - \dfrac{5}{6} x y^{1+1} z = - \dfrac{5}{6} x y^2 z \quad \quad \text{evalúa la multiplicación de coeficientes y multiplica variables usando las reglas de exponentes}
\end{split} \)
e)
\( \quad \quad \begin{split}
(6) (- y z) & = (6)((-1) y z) \quad \quad \text{identifica, si es necesario, los coeficientes y las variables de cada monomio}\\\\
& = (6 \cdot (-1)) yz \quad \quad \text{multiplica los coeficientes}\\\\
& = -6 yz \quad \quad \text{evalúa la multiplicación de coeficientes}
\end{split} \)
La siguiente regla de exponentes se usa ampliamente en la división de formas exponenciales:
\( \dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \)
Puedes dividir cualquier par de monomios y NO es necesario que tengan términos semejantes. Sin embargo, el divisor no debe ser igual a cero.
En el ejemplo y los ejercicios a continuación, asumimos que NINGUNA de las variables es igual a cero.
Divide los siguientes monomios:
a) \( \dfrac{- x^2}{ x} \) b) \( \dfrac{4 x^4}{ x^2} \) c) \( \dfrac{- 2 x^4 y^3}{ 6 x^2 y^2} \) d) \( \dfrac{- 12 x y z^3}{ 6 x y } \) e) \( \dfrac{- 12 x^2y^3}{ -3} \)
Solución al Ejemplo 5
a)
\( \quad \quad \begin{split}
\dfrac{- x^2}{ x} & = \dfrac{ \color{red}{-1} \color{blue}{x^2}}{ \color{red}{1} \color{blue}{x}} \quad \quad \text{identifica, si es necesario, los coeficientes y las variables de cada monomio}\\\\
& = \color{red}{\dfrac{-1}{1}} \cdot \color{blue}{\dfrac{x^2}{x}} \quad \quad \text{divide los coeficientes y los términos con la misma variable por separado}\\\\
& = -1 \cdot x^{2-1} = -1 \cdot x^{1} = -x \quad \quad \text{evalúa la división de coeficientes y simplifica variables usando las reglas de división de exponentes}
\end{split} \)
b)
\( \quad \quad \begin{split}
\dfrac{4 x^4}{ x^2} & = \dfrac{ \color{red}{4} \color{blue}{x^4}}{ \color{red}{1} \color{blue}{x^2}} \quad \quad \text{identifica, si es necesario, los coeficientes y las variables de cada monomio}\\\\
& = \color{red}{\dfrac{4}{1}} \cdot \color{blue}{\dfrac{x^4}{x^2}} \quad \quad \text{divide los coeficientes y los términos con la misma variable por separado}\\\\
& = 4 \cdot x^{4-2} = 4 x^{2} \quad \quad \text{evalúa la división de coeficientes y simplifica variables usando las reglas de división de exponentes}
\end{split} \)
c)
\( \quad \quad \begin{split}
\dfrac{- 2 x^4 y^3}{ 6 x^2 y^2} & = \color{red}{\dfrac{-2}{6}} \color{blue}{\cdot \dfrac{x^4}{x^2}} \color{green}{\cdot \dfrac{y^3}{y^2}} \quad \quad \text{divide los coeficientes y los términos con la misma variable por separado}\\\\
& = -\dfrac{1}{3} \cdot x^{4-2} \cdot y^{3-2} = -\dfrac{1}{3} x^{2} y \quad \quad \text{evalúa la división de coeficientes y simplifica variables usando las reglas de división de exponentes}
\end{split} \)
d)
\( \quad \quad \begin{split}
\dfrac{- 12 x y z^3}{ 6 x y } & = \dfrac{-12}{6} \cdot \dfrac{x}{x} \cdot \dfrac{y}{y} \cdot z^3 \quad \quad \text{divide los coeficientes y los términos con la misma variable por separado}\\\\
& = -2 \cdot x^{1-1} \cdot y^{1-1} \cdot z^3 = -2 z^3 \quad \quad \text{evalúa la división de coeficientes y simplifica variables usando las reglas de división de exponentes}
\end{split} \)
e)
\( \quad \quad \begin{split}
\dfrac{- 12 x^2y^3}{ -3} & = \dfrac{-12}{-3} \cdot x^2y^3 \quad \quad \text{divide los coeficientes}\\\\
& = 4 x^2y^3 \quad \quad \text{evalúa la división de coeficientes}
\end{split} \)