Se presentan ejemplos de noveno grado sobre la adición, sustracción, multiplicación, división y simplificación de monomios junto con sus soluciones detalladas. También se incluyen más preguntas y sus soluciones y explicaciones detalladas .
Un monomio es el producto de un número real y variables elevadas a potencias enteras no negativas (exponentes).
Ejemplo 1
Tomemos un número, \( -2 \) por ejemplo, y una variable con exponentes igual a \( 2 \), \( x^2 \) por ejemplo, y multipliquémoslos para obtener
\( \quad - 2 \times x^2 \)
Ahora, para simplificar, eliminemos el símbolo de multiplicación y escríbalo como
\( \quad - 2 x^2 \) para obtener un monomio.
Estos son ejemplos de monomios
\( \quad x , 2x , 3x^2 , -0.1x , -\dfrac{3}{4}x^2y^2 , -y \)
El coeficiente de un monomio es la parte numérica (que está al frente) del monomio.
Ejemplo 2
El coeficiente del monomio \( \color{red}{2}x \) es \( \color{red}{2} \)
El coeficiente del monomio \( \color{red}{-3}x^2 \) es \( \color{red}{-3} \)
El coeficiente del monomio \( \color{red}{-\dfrac{5}{2}}y^3x \) es \( \color{red}{-\dfrac{5}{2}} \)
El coeficiente del monomio \( x = \color{red}{1}x \) es \( \color{red}{1} \) NOTA que no se escribe \( 1x \), en cambio, se escribe \( x \) por simplicidad
El coeficiente del monomio \( -x^2 = \color{red}{-1}x^2 \) es \( \color{red}{-1} \) NOTA que no se escribe \( -1x^2 \), en cambio, se escribe \( -x^2 \) por simplicidad
Solo podemos sumar y restar monomios con términos semejantes que tengan las mismas variables elevadas a la misma potencia.
Ejemplos de monomios con términos semejantes
\( \quad -3x^2 , 4x^2 , -x^2 \) son todos monomios con términos semejantes \( x^2 \) y se pueden sumar
\( \quad -y^2x , 4y^2x , -xy^2 \) son todos monomios con términos semejantes \( xy^2 \) y se pueden sumar.
NOTA que los términos \( xy^2 \) y \( y^2x \) son iguales
Ejemplo 3
Sumar y/o restar los siguientes monomios
a) \(2x + 4x\) b) \( 3x^2 - x^2 \) c) \( xy - 5xy \) d) \( 3x^2y - x^2y + 4yx^2 \) e) \( -x + x \)
Solución del Ejemplo 3
a)
\( \quad \quad \begin{split}
\color{red}{2}x + \color{red}{4} x & = \color{red}{(2 + 4)} x \quad \quad \text{factorizar la variable \( x \) y colocar todos los coeficientes entre corchetes}\\\\
& = 6x \quad \quad \text{sumar los coeficientes entre corchetes}
\end{split} \)
b)
\( \quad \quad \begin{split}
\color{red}{3} x^2 \color{red}{-1} x^2& = \color{red}{(3 - 1)} x^2 \quad \quad \text{factorizar la variable \( x^2 \) y colocar todos los coeficientes entre corchetes}\\\\
& = 2x^2 \quad \quad \text{sumar/restar los coeficientes entre corchetes}
\end{split} \)
c)
\( \quad \quad \begin{split}
\color{red}{1} xy \color{red}{- 5} xy & = \color{red}{(1 - 5)} xy \quad \quad \text{factorizar la variable \( xy \) y colocar todos los coeficientes entre corchetes}\\\\
& = -4xy \quad \quad \text{sumar/restar los coeficientes entre corchetes}
\end{split} \)
d)
\( \quad \quad \begin{split}
3x^2y - x^2y + 4yx^2 & = \color{red}{(3-1+4)} x^2y \quad \quad \text{factorizar la variable \( x^2y \) y colocar todos los coeficientes entre corchetes}\\\\
& = 6x^2y \quad \quad \text{sumar/restar los coeficientes entre corchetes}
\end{split} \)
NOTA que en la parte d) del ejemplo anterior los términos \( x^2y \) y \( yx^2\) son iguales
e)
\( \quad \quad \begin{split}
-x + x & = (-1 + 1) x \quad \quad \text{factorizar la variable \( x \) y colocar todos los coeficientes entre corchetes}\\\\
& = (-1+1)x = 0x = 0 \quad \quad \text{sumar/restar los coeficientes entre corchetes}
\end{split} \)
La siguiente regla de exponentes se utiliza ampliamente en la multiplicación de exponentes
\( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \)
Puedes multiplicar dos monomios y NO es necesario que tengan términos semejantes.
Ejemplo 4
Multiplicar los siguientes monomios
a) \( (x) (6x) \) b) \( (3x^2) (-2x) \) c) \( (5x^2y) (-y^2x) \) d) \( (\dfrac{2}{3}xy) (-\dfrac{5}{4}yz) \) d) \( ( 6 ) (-yz) \)
Solución del Ejemplo 4
a)
\( \quad \quad \begin{split}
(x) (6x) & = (\color{red}{1} \color{blue}{x} )(\color{red}{6} \color{blue}{x}) \quad \quad \text{identificar, si es necesario, los coeficientes y las variables de cada monomio}\\\\
& = \color{red}{(1 \cdot 6)} \color{blue}{(x \cdot x)} \quad \quad \text{Multiplicar los coeficientes entre sí y los términos con la misma variable entre sí} \\\\
& = 6x^{1+1} = 6x^2 \quad \quad \text{Evaluar la multiplicación de los coeficientes y multiplicar las variables usando la regla de exponentes anterior} \\\
\end{split} \)
b)
\( \quad \quad \begin{split}
(3x^2) (-2x) & = (\color{red}{3} \color{blue}{x^2} )(\color{red}{(-2)} \color{blue}{x}) \quad \quad \text{identificar, si es necesario, los coeficientes y las variables de cada monomio}\\\\
& = \color{red}{(3 \cdot (-2))} \color{blue}{(x^2 \cdot x)} \quad \quad \text{Multiplicar los coeficientes entre sí y los términos con la misma variable entre sí} \\\\
& = - 6 x^{2+1} = - 6 x^3 \quad \quad \text{Evaluar la multiplicación de los coeficientes y multiplicar variables usando las reglas de exponentes anteriores} \\\
\end{split} \)
c)
\( \quad \quad \begin{split}
(5x^2y) (-y^2x) & = (5x^2y)((-1)y^2x) \quad \quad \text{identificar, si es necesario, los coeficientes y las variables de cada monomio}\\\\
& = (5 \cdot (-1))(x^2 \cdot x)(y^2 \cdot y) \quad \quad \text{Multiplicar los coeficientes entre sí y los términos con la misma variable entre sí} \\\\
& = - 5 y^{2+1} x^{2+1} = - 5 y^3 x^3 \quad \quad \text{Evaluar la multiplicación de los coeficientes y multiplicar las variables usando las reglas de exponentes} \\\
\end{split} \)
d)
\( \quad \quad \begin{split}
(\dfrac{2}{3}xy) (-\dfrac{5}{4}yz) & = ((\dfrac{2}{3})xy)((-\dfrac{5}{4})yz) \quad \quad \text{identificar, si es necesario, los coeficientes y las variables de cada monomio}\\\\
& = (\dfrac{2}{3} \cdot (-\dfrac{5}{4}))(x)(y \cdot y)(z) \quad \quad \text{Multiplicar los coeficientes entre sí y los términos con la misma variable entre sí} \\\\
& = - \dfrac{5}{6} x y^{1+1} z = - \dfrac{5}{6} x y^2 z \quad \quad \text{Evaluar la multiplicación de los coeficientes y multiplicar las variables usando las reglas de exponentes} \\\
\end{split} \)
e)
\( \quad \quad \begin{split}
(6) (-yz) & = (6)((-1)yz) \quad \quad \text{identificar, si es necesario, los coeficientes y las variables de cada monomio}\\\\
& = (6 \cdot (-1)) yz \quad \quad \text{Multiplicar los coeficientes } \\\\
& = - 6 yz \quad \quad \text{Evaluar la multiplicación de los coeficientes}\\\
\end{split} \)
La siguiente regla de exponentes se utiliza ampliamente en la división de exponentes
\( \dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \)
Puedes dividir cualquier par de monomios y NO es necesario que tengan términos semejantes. Sin embargo, el divisor no debe ser igual a cero.
En el ejemplo y los ejercicios a continuación, asumimos que NINGUNA de las variables es igual a cero.
Ejemplo 5
Dividir los siguientes monomios
a) \( \dfrac{- x^2}{ x} \) b) \( \dfrac{4 x^4}{ x^2} \) c) \( \dfrac{- 2 x^4 y^3}{ 6 x^2 y^2} \) d) \( \dfrac{- 12 x y z^3}{ 6 x y } \) e) \( \dfrac{- 12 x^2y^3}{ -3} \)
Solución del Ejemplo 5
a)
\( \quad \quad \begin{split}
\dfrac{- x^2}{ x} & = \dfrac{ \color{red}{- 1} \color{blue}{x^2}}{ \color{red}{1} \color{blue}{x }} \quad \quad \text{identificar, si es necesario, los coeficientes y las variables de cada monomio}\\\\
& = \color{red}{\dfrac{-1}{1}} \cdot \color{blue}{\dfrac{x^2}{x}} \quad \quad \text{Dividir los coeficientes y los términos con la misma variable por separado} \\\\
& = - 1 \cdot x^{2-1} = - 1 \cdot x^{1} = - x \quad \quad \text{Evaluar la división de los coeficientes y simplificar las variables usando las reglas de división de exponentes} \\\
\end{split} \)
b)
\( \quad \quad \begin{split}
\dfrac{4 x^4}{x^2} & = \dfrac{ \color{red}{4} \color{blue}{x^4}}{\color{red}{1} \color{blue}{x^2}} \quad \quad \text{identificar, si es necesario, los coeficientes y las variables de cada monomio}\\\\
& = \color{red}{ \dfrac{4}{1} } \cdot \color{blue}{ \dfrac{x^4}{x^2} } \quad \quad \text{Dividir los coeficientes y los términos con la misma variable por separado} \\\\
& = 4 \cdot x^{4-2} = 4 x^{2} \quad \quad \text{Evaluar la división de los coeficientes y simplificar las variables usando las reglas de división de exponentes} \\\
\end{split} \)
c)
\( \quad \quad \begin{split}
\dfrac{-2 x^4 y^3}{6 x^2 y^2} & = \color{red}{ \dfrac{-2}{6}} \color{blue}{\cdot \dfrac{x^4}{x^2}} \color{green}{ \cdot \dfrac{y^3}{y^2}} \quad \quad \text{Dividir los coeficientes y los términos con la misma variable por separado} \\\\
& = - \dfrac{1}{3} \cdot x^{4-2} \cdot y^{3-1} = - \dfrac{1}{3} x^{2} y \quad \quad \text{Evaluar la división de los coeficientes y simplificar las variables usando las reglas de división de exponentes} \\\
\end{split} \)
d)
\( \quad \quad \begin{split}
\dfrac{- 12 x y z^3}{6 x y} & = \dfrac{-12}{6} \cdot \dfrac{x}{x} \cdot \dfrac{y}{y} \cdot z^3\quad \quad \text{Dividir los coeficientes y los términos con la misma variable por separado} \\\\
& = - 2 \cdot x^{1-1} \cdot y^{1-1} \cdot z^3 = - 2 z^3 \quad \quad \text{Evaluar la división de los coeficientes y simplificar las variables usando las reglas de división de exponentes } \\\
\end{split} \)
e)
\( \quad \quad \begin{split}
\dfrac{-12 x^2y^3}{-3} & = \dfrac{-12}{-3} \cdot x^2y^3 \quad \quad \text{Dividir los coeficientes} \\\\
& = 4 x^2y^3 \quad \quad \text{Evaluar la división de los coeficientes} \\\
\end{split} \)
