Resolver Ecuaciones - Grado 9

Se presentan ejemplos de 9º grado, con un enfoque paso a paso detallado, sobre cómo resolver ecuaciones simples y ecuaciones que involucran paréntesis y fracciones. También se discute cómo verificar las soluciones de una ecuación. Se incluyen más preguntas y sus soluciones con explicaciones detalladas.


¿Qué es una Ecuación y su Solución?

Primero revisamos el concepto de ecuaciones y la solución de una ecuación.
Una ecuación es un enunciado que expresa la igualdad de dos expresiones matemáticas. Una ecuación tiene un signo igual, una expresión del lado derecho y una expresión del lado izquierdo.

Ejemplo 1


Estos son ejemplos de ecuaciones con la incógnita \( x \)
\( \quad 2 x = - 6 \) , \( \quad x + 3 = 7 \) , \( \quad 2(x + 3) = - (2x+4) \)
Cada ecuación tiene un signo igual que separa los lados izquierdo y derecho de la ecuación.
El lado izquierdo de la ecuación \( \quad \color{red}{2 x - 6} = x + 5 \) es \( \quad \color{red}{2 x - 6} \).
El lado derecho de la ecuación \( \quad 2 x - 6 = \color{red}{x + 5} \) es \( \quad \color{red}{x + 5} \).

La solución de una ecuación, con la incógnita \( x \), es el conjunto de todos los valores de \( x \) que convierten la ecuación en un enunciado verdadero.

Ejemplo 2


¿Cuál de los siguientes valores de \( x \): \( - 4, 2\) es/son solución(es) de la ecuación \( 2 x + 2 = x + 4 \)?
Solución del Ejemplo 2
Sustituye \( x \) por su valor numérico en el lado izquierdo y el lado derecho de la ecuación
a) Comprueba \( \color{red}{x = - 4} \)
Evalúa el lado izquierdo : \( 2 \color{red}x + 2 = 2 \color{red}{( - 4 )} + 2 = - 8 + 2 = - 6 \) ,
Evalúa el lado derecho : \( \color{red}x + 4 = \color{red}{( - 4)} + 4 = 0 \)
Los valores numéricos de los lados izquierdo y derecho no son iguales, por lo tanto \( x = - 4 \) NO es una solución de la ecuación \( 2 x + 2 = x + 4 \).

b) Comprueba \( \color{red}{x = 2} \)
Evalúa el lado izquierdo : \( 2 x + 2 = 2 \color{red}{(2 )} + 2 = 4 + 2 = 6 \) ,
Evalúa el lado derecho : \( \color{red}x + 4 = \color{red}{(2)} + 4 = 6 \)
Los valores numéricos de los lados izquierdo y derecho son iguales, por lo tanto \( x = 2 \) es una solución de la ecuación \( 2 x + 2 = x + 4 \).


Propiedades Importantes para Resolver Ecuaciones

Para resolver una ecuación, necesitamos pasos matemáticos que ayuden a obtener todos los términos con la incógnita en un lado y los términos constantes en el otro lado.
Algunas de las propiedades más importantes utilizadas para resolver ecuaciones se enumeran a continuación.
1) Si sumamos o restamos la misma cantidad a ambos lados de una ecuación, obtenemos una ecuación que tiene la misma solución que la original.
2) Si multiplicamos o dividimos ambos lados de una ecuación por la misma cantidad, DISTINTA de cero, obtenemos una ecuación que tiene la misma solución que la original.


Resolver Ecuaciones Simples

Ejemplo 3


Resuelve la ecuación \( 2x + 1 = - 5 \) y verifica la solución obtenida.
Solución del Ejemplo 3
La idea principal es tener todos los términos con la incógnita \( x \) en un lado y todos los términos constantes en el otro lado de la ecuación.
Mantengamos los términos \( 2x \) a la izquierda y los términos constantes a la derecha. Esto se puede hacer restando \( 1 \) a ambos lados de la ecuación.
\( \quad \quad 2x + 1 \color{red}{- 1} = - 5 \color{red}{- 1} \)
Simplifica para obtener
\( \quad \quad 2x = - 6 \)
Para obtener \( x \) a partir de \( 2x \), dividimos ambos lados de la ecuación anterior por 2
\( \quad \quad \dfrac{2 x}{\color{red}2} = \dfrac{-6}{\color{red}2} \)
Simplifica
\( \quad \quad x = -3 \)
Verifica la solución obtenida en la ecuación original (dada)
Evalúa el lado izquierdo de la ecuación para \( x = - 3 \) : \( \quad 2x + 1 = 2(-3) + 1 = - 5 \)
Evalúa el lado derecho de la ecuación para \( x = - 3 \) : \( \quad - 5 \)
El lado izquierdo y el derecho son ambos iguales a \( - 5 \) para \( x = - 3 \), por lo tanto \( x = - 3 \) es una solución de la ecuación dada.

Ejemplo 4


Resuelve la ecuación \( x - 2 - 3x = - 7 - x \) y verifica la solución obtenida.
Solución del Ejemplo 4
Agrupa términos semejantes en los dos lados de la ecuación. \( x \) y \( - 3x \) son términos semejantes en el lado izquierdo y se pueden agrupar para dar
\( \quad \quad - 2x - 2 = - 7 - x \)
Suma \( 2 \) a ambos lados de la ecuación para eliminar los términos constantes del lado izquierdo.
\( \quad \quad - 2x - 2 \color{red}{+ 2} = - 7 - x \color{red}{+ 2} \)
Simplifica
\( \quad \quad - 2x = - x - 5 \)
Suma \( x \) a ambos lados de la ecuación para eliminar términos con \( x \) del lado derecho.
\( \quad \quad - 2x \color{red}{+x } = - x - 5 \color{red}{+x }\)
Simplifica para obtener
\( \quad \quad - x = - 5 \)
Si conocemos \( - x \) y necesitamos \( x \), multiplicamos ambos lados de la ecuación por \( - 1 \)
\( \quad \quad \color{red}{(-1)}(- x) = \color{red}{(-1)}(- 5) \)
Simplifica
\( \quad \quad x = 5 \)
Verifica la solución obtenida en la ecuación original (dada)
Lado izquierdo de la ecuación para \( x = 5 \) : \( \quad x - 2 - 3x = 5 - 2 -3(5) = - 12 \)
Lado derecho de la ecuación para \( x = 5 \) : \( \quad - 7 - x = - 7 - (5) = - 12 \)
El lado izquierdo y el derecho son ambos iguales a \( - 12 \) para \( x = 5 \), por lo tanto \( x = 5 \) es una solución de la ecuación dada.


Resolver Ecuaciones que Involucran Paréntesis

Ejemplo 5


Resuelve la ecuación \( - 2 (x - 2) + 3 = 3 (-x + 4) - 3 \) y verifica la solución obtenida.
Solución del Ejemplo 5
La ecuación dada
\( \quad \quad \color{red}{- 2} (x - 2) + 3 = \color{red}3 (-x + 4) - 3 \)
Usa la ley distributiva: \( \quad a(b+c) = ab + ac \quad \), que es una de las reglas básicas del álgebra, para eliminar los paréntesis. Distribuye \( \color{red}{-2} \) y \( \color{red}3 \).
\( \quad \quad \color{red}{- 2} (x ) \color{red}{- 2} (- 2) + 3 = \color{red}3 (-x) + \color{red}3 (4) - 3 \)
Simplifica
\( \quad \quad - 2 x + 4 + 3 = - 3 x + 12 - 3 \)
Agrupa términos semejantes en ambos lados de la ecuación.
\( \quad \quad - 2 x + 7 = - 3 x + 9 \)
Resta \( 7 \) a ambos lados de la ecuación para eliminar los términos constantes del lado izquierdo de la ecuación.
\( \quad \quad - 2 x + 7 - 7 = - 3 x + 9 - 7 \)
Agrupa términos semejantes
\( \quad \quad - 2x = - 3x + 2 \)
Suma \( 3x \) a ambos lados de la ecuación para eliminar términos en \( x \) del lado derecho de la ecuación.
\( \quad \quad - 2x + 3 x = - 3x + 2 + 3x \)
Agrupa términos semejantes y simplifica
\( \quad \quad x = 2 \)
Verifica la solución obtenida en la ecuación original (dada)
Evalúa el lado izquierdo de la ecuación para \( x = 2 \) : \( \quad - 2 (x - 2) + 3 = - 2 ((2) - 2) + 3 = 3 \)
Evalúa el lado derecho de la ecuación para \( x = 2 \) : \( \quad 3 (-x + 4) - 3 = 3 (-(2) + 4) - 3 = 3 \)
El lado izquierdo y el derecho son ambos iguales a 3 para \( x = 2 \), por lo tanto \( x = 2 \) es una solución de la ecuación dada.


Resolver Ecuaciones que Involucran Fracciones

El método para resolver ecuaciones con fracciones adoptado aquí es aquel en el que nos deshacemos primero de las fracciones (para evitar lidiar con ellas) mediante multiplicación y luego resolvemos la ecuación.

Ejemplo 6


Resuelve la ecuación \( \quad \dfrac{x}{2} = - 3 \) y verifica la solución obtenida.
Solución del Ejemplo 6
Para eliminar el denominador \( 2 \) en \( \dfrac{x}{2} \), multiplicamos los dos lados de la ecuación por el denominador \( 2 \)
\( \quad \color{red}2 \left(\dfrac{x}{2} \right) = \color{red}2 (- 3) \)
Simplifica
\( \quad x = - 6 \)
Verifica la solución obtenida en la ecuación original (dada)
Lado izquierdo de la ecuación para \( x = -6 \) : \( \quad \dfrac{x}{2} = \dfrac{-6}{2} = - 3 \)
El lado izquierdo y el derecho son ambos iguales a \( - 3 \) para \( x = - 6 \), por lo tanto \( x = - 6 \) es una solución de la ecuación dada.

Ejemplo 7


Resuelve la ecuación \( \quad \dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \) y verifica la solución obtenida.
Solución del Ejemplo 7
Ahora tenemos dos fracciones con denominadores \( 2 \) y \( 3 \) en la ecuación dada. Para deshacernos de las fracciones, necesitamos multiplicar ambos lados de la ecuación por el MCM (mínimo común múltiplo) de los dos denominadores diferentes \( 2 \) y \( 3 \).
Encuentra el MCM de \( 2 \) y \( 3 \), que es \( 6 \).
Multiplica ambos lados de la ecuación por el MCM, que es \( 6 \)
\( \quad\quad \color{red}6 \left( \dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{2} \right) = \color{red}6 \left(\dfrac{1}{3}\right) \)
Distribuye el factor \( 6 \)
\( \quad\quad 6 \left(\dfrac{x}{3} \right) - 6 \left(\dfrac{1}{2} \right) = 6 \left(\dfrac{1}{3} \right) \)
Reordena como
\( \quad\quad \left(\dfrac{6}{3} \right) x - \left(\dfrac{6}{2} \right) = \left(\dfrac{6}{3} \right) \)
Simplifica
\( \quad\quad 2x - 3 = 2 \)
NOTA: Se necesita un paso, que es la multiplicación de ambos lados de la ecuación por el MCM de los denominadores, para deshacerse de las fracciones porque el MCM es un múltiplo de cada denominador.
Resuelve la ecuación anterior sumando \( 3 \) a ambos lados y simplifica para obtener
\( \quad\quad 2 x = 5 \)
Divide ambos lados por \( 2 \)
\( \quad\quad x = \dfrac{5}{2} \)
Verifica la solución obtenida en la ecuación original (dada)
Lado izquierdo de la ecuación para \( x = \dfrac{5}{2} \) : \( \quad \dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \left(\dfrac{5}{2}\right) - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \)
El lado izquierdo y el derecho son ambos iguales a \( \dfrac{1}{3} \) para \( x = \dfrac{5}{2} \), por lo tanto \( x = \dfrac{5}{2} \) es una solución de la ecuación dada.


Ejemplo 8


Resuelve la ecuación \( \quad \dfrac{2x + 1}{5} + 2 = - \dfrac{x}{3} \) y verifica la solución obtenida.
Solución del Ejemplo 8
Ahora tenemos fracciones con denominadores \( 5 \) y \( 3 \) en la ecuación dada. Necesitamos multiplicar ambos lados de la ecuación por el MCM (mínimo común múltiplo) de los dos denominadores diferentes \( 5 \) y \( 3 \).
Encuentra el MCM de \( 5 \) y \( 3 \), que es \( 15 \).
NOTA: Se necesita un paso, que es la multiplicación de ambos lados de la ecuación por el MCM de los denominadores, para deshacerse de las fracciones porque el MCM es un múltiplo de cada denominador.
Multiplica ambos lados de la ecuación por el MCM \( 15 \)
\( \quad\quad \color{red}{15} \left( \dfrac{2x + 1}{5} + 2 \right) = \color{red}{15} \left( - \dfrac{x}{3} \right) \)
Distribuye el factor \( 15 \)
\( \quad\quad 15 \left(\dfrac{2x+1}{5} \right) + 15 (2) = 15 \left( - \dfrac{x}{3} \right) \)
Reordena como
\( \quad\quad \dfrac{15}{5}(2x+1) + 15 (2) = \dfrac{15}{3}(-x) \)
Simplifica
\( \quad\quad 3 (2x+1) + 30 = - 5x \)
Distribuye el factor \(3 \) en el lado izquierdo y agrupa términos semejantes
\( \quad\quad 6 x + 3 + 30 = - 5x \)
\( \quad\quad 6x + 33 = - 5 x \)
Resta \( 33 \) de ambos lados y suma \( 5x \) a ambos lados. (NOTA: hemos realizado dos operaciones en un paso.)
\( \quad\quad 6x + 33 \color{red}{- 33 + 5x } = - 5 x \color{red}{- 33 + 5x } \)
Agrupa términos semejantes
\( \quad\quad 11 x = - 33 \)
Divide ambos lados por \( 11 \)
\( \quad\quad \dfrac{ 11 x} {11} = \dfrac{-33}{11} \)
Simplifica
\( \quad\quad x = - 3 \)
Verifica la solución obtenida en la ecuación original (dada)
Lado izquierdo de la ecuación para \( x = - 3 \) : \( \quad \dfrac{2x + 1}{5} + 2 = \dfrac{2(-3) + 1}{5} + 2 = 1 \)
Lado derecho de la ecuación para \( x = -3 \) : \( \quad - \dfrac{x}{3} = - \dfrac{-3}{3} = 1 \)
El lado izquierdo y el derecho son ambos iguales a \( 1 \) para \( x = -3 \), por lo tanto \( x = - 3 \) es una solución de la ecuación dada.


Preguntas

  1. Resuelve las siguientes ecuaciones y verifica la solución encontrada.

    1. ) \( 2x + 2 = 6 \)
    2. ) \( 5y - 2 = 7y - 8 \)
    3. ) \( -2x + 4 + 5x = 7 + 4x - 3 \)
    4. ) \( 0.2 d + 4 = - 0.1 d - 2 \)
    5. ) \( -2(2x- 6) = -(x - 4) \)
    6. ) \( -(x+2)+4 = 2(x+3) + x \)
    7. ) \( \dfrac{x}{5} = - 6 \)
    8. ) \( - \dfrac{x}{3} = \dfrac{1}{2} \)
    9. ) \( - \dfrac{x}{4} = \dfrac{1}{2} - x \)
    10. ) \( - \dfrac{x-3}{7} = \dfrac{1}{2} (- 2x + 6) \)
    11. ) \( - \dfrac{1}{2} - x + 5 = \dfrac{1}{5} + 2(x-2) \)
Soluciones a las preguntas anteriores incluidas.

Más Referencias y Enlaces