Se presentan ejemplos del grado 9, con un enfoque detallado paso a paso, sobre cómo resolver ecuaciones simples y ecuaciones que involucran corchetes y fracciones. También se discute la verificación de las soluciones de una ecuación. Más preguntas y sus soluciones con explicaciones detalladas también están incluidas.
Primero revisamos el concepto de ecuaciones y la solución de una ecuación.
Una ecuación es una afirmación que expresa la igualdad de dos expresiones matemáticas. Una ecuación tiene un signo igual, una expresión del lado derecho y una expresión del lado izquierdo.
Ejemplo 1
Estos son ejemplos de ecuaciones con la incógnita \( x \)
\( \quad 2 x = - 6 \) , \( \quad x + 3 = 7 \) , \( \quad 2(x + 3) = - (2x+4) \)
Cada ecuación tiene un signo igual que separa los lados izquierdo y derecho de la ecuación.
El lado izquierdo de la ecuación \( \quad \color{red}{2 x - 6} = x + 5 \) es \( \quad \color{red}{2 x - 6} \).
El lado derecho de la ecuación \( \quad 2 x - 6 = \color{red}{x + 5} \) es \( \quad \color{red}{x + 5} \).
La solución de una ecuación, con la incógnita \( x \), es el conjunto de todos los valores de \( x \) que hacen que la ecuación sea una afirmación verdadera.
Ejemplo 2
¿Cuál(es) de los siguientes valores de \( x \): \( - 4, 2\) es/son solución(es) de la ecuación \( 2 x + 2 = x + 4 \)?
Solución para el Ejemplo 2
Sustituye \( x \) por su valor numérico en el lado izquierdo y el lado derecho de la ecuación
a) Comprueba \( \color{red}{x = - 4} \)
Evalúa el lado izquierdo : \( 2 \color{red}x + 2 = 2 \color{red}{( - 4 )} + 2 = - 8 + 2 = - 6 \) ,
Evalúa el lado derecho : \( \color{red}x + 4 = \color{red}{( - 4)} + 4 = 0 \)
Los valores numéricos del lado izquierdo y del lado derecho no son iguales, por lo tanto \( x = - 4 \) NO es una solución de la ecuación \( 2 x + 2 = x + 4 \).
b) Comprueba \( \color{red}{x = 2} \)
Evalúa el lado izquierdo : \( 2 x + 2 = 2 \color{red}{(2 )} + 2 = 4 + 2 = 6 \) ,
Evalúa el lado derecho : \( \color{red}x + 4 = \color{red}{(2)} + 4 = 6 \)
Los valores numéricos del lado izquierdo y del lado derecho son iguales, por lo tanto \( x = 2 \) es una solución de la ecuación \( 2 x + 2 = x + 4 \).
Para resolver una ecuación, necesitamos pasos matemáticos que ayuden a obtener todos los términos con la incógnita en un lado y los términos constantes en el otro lado.
Algunas de las propiedades más importantes utilizadas para resolver ecuaciones se enumeran a continuación.
1) Si sumamos o restamos la misma cantidad a ambos lados de una ecuación, obtenemos una ecuación que tiene la misma solución que la original.
1) Si multiplicamos o dividimos ambos lados de una ecuación por la misma cantidad, NO igual a cero, obtenemos una ecuación que tiene la misma solución que la original.
Ejemplo 3
Resuelve la ecuación \( 2x + 1 = - 5 \) y verifica la solución obtenida.
Solución para el Ejemplo 3
La idea principal es tener todos los términos con la incógnita \( x \) en un lado y todos los términos constantes en el otro lado de la ecuación
Mantengamos los términos \( 2x \) en el lado izquierdo y los términos constantes en el lado derecho. Esto se puede hacer restando \( 1 \) a ambos lados de la ecuación
\( \quad \quad 2x + 1 \color{red}{- 1} = - 5 \color{red}{- 1} \)
Simplifica para obtener
\( \quad \quad 2x = - 6 \)
Para obtener \( x \) a partir de \( 2x \), dividimos ambos lados de la ecuación anterior por 2
\( \quad \quad \dfrac{2 x}{\color{red}2} = \dfrac{-6}{\color{red}2} \)
Simplifica
\( \quad \quad x = -3 \)
Verifica la solución obtenida en la ecuación original (dada)
Evalúa el lado izquierdo de la ecuación para \( x = - 3 \) : \( \quad 2x + 1 = 2(-3) + 1 = - 5 \)
Evalúa el lado derecho de la ecuación para \( x = - 3 \) : \( \quad - 5 \)
El lado izquierdo y el lado derecho son ambos iguales a \( - 5 \) para \( x = - 3 \), por lo tanto, \( x = - 3 \) es una solución de la ecuación dada.
Ejemplo 4
Resuelve la ecuación \( x - 2 - 3x = - 7 - x \) y verifica la solución obtenida.
Solución para el Ejemplo 4
Agrupa los términos semejantes en los dos lados de la ecuación. \( x \) y \( - 3x \) son términos semejantes en el lado izquierdo y se pueden agrupar para dar
\( \quad \quad - 2x - 2 = - 7 - x \)
Agrega \( 2 \) a ambos lados de la ecuación para eliminar términos constantes del lado izquierdo.
\( \quad \quad - 2x - 2 \color{red}{+ 2} = - 7 - x \color{red}{+ 2} \)
Simplifica
\( \quad \quad - 2x = - x - 5 \)
Agrega \( x \) a ambos lados de la ecuación para eliminar términos con \( x \) del lado derecho.
\( \quad \quad - 2x \color{red}{+x } = - x - 5 \color{red}{+x }\)
Simplifica para obtener
\( \quad \quad - x = - 5 \)
Si conocemos \( - x \) y necesitamos \( x \), multiplicamos ambos lados de la ecuación por \( - 1 \)
\( \quad \quad \color{red}{(-1)}(- x) = \color{red}{(-1)}(- 5) \)
Simplifica
\( \quad \quad x = 5 \)
Verifica la solución obtenida en la ecuación original (dada)
Lado izquierdo de la ecuación para \( x = 5 \) : \( \quad x - 2 - 3x = 5 - 2 -3(5) = - 12 \)
Lado derecho de la ecuación para \( x = 5 \) : \( \quad - 7 - x = - 7 - (5) = - 12 \)
El lado izquierdo y el lado derecho son ambos iguales a \( - 12 \) para \( x = 5 \), por lo tanto, \( x = - 3 \) es una solución de la ecuación dada.
Ejemplo 5
Resuelve la ecuación \( - 2 (x - 2) + 3 = 3 (-x + 4) - 3 \) y verifica la solución obtenida.
Solución para el Ejemplo 5
La ecuación dada
\( \quad \quad \color{red}{- 2} (x - 2) + 3 = \color{red}3 (-x + 4) - 3 \)
Utiliza la ley distributiva: \( \quad a(b+c) = ab + ac \quad \), que es una de las reglas básicas del álgebra, para eliminar los corchetes.
Distribuye \( \color{red}{-2} \) y \( \color{red}3 \).
\( \quad \quad \color{red}{- 2} (x ) \color{red}{- 2} (- 2) + 3 = \color{red}3 (-x) + \color{red}3 (4) - 3 \)
Simplifica
\( \quad \quad - 2 x + 4 + 3 = - 3 x + 12 - 3 \)
Agrupa los términos semejantes en ambos lados de la ecuación.
\( \quad \quad - 2 x + 7 = - 3 x + 9 \)
Resta \( 7 \) a ambos lados de la ecuación para eliminar términos constantes del lado izquierdo de la ecuación.
\( \quad \quad - 2 x + 7 - 7 = - 3 x + 9 - 7 \)
Agrupa los términos semejantes
\( \quad \quad - 2x = - 3x + 2 \)
Añade \( 3x \) a ambos lados de la ecuación para eliminar términos en \( x \) del lado derecho de la ecuación.
\( \quad \quad - 2x + 3 x = - 3x + 2 + 3x \)
Agrupa los términos semejantes y simplifica
\( \quad \quad x = 2 \)
Verifica la solución obtenida en la ecuación original (dada)
Evalúa el lado izquierdo de la ecuación para \( x = 2 \) : \( \quad - 2 (x - 2) + 3 = - 2 ((2) - 2) + 3 = 3 \)
Evalúa el lado derecho de la ecuación para \( x = 2 \) : \( \quad 3 (-x + 4) - 3 = 3 (-(2) + 4) - 3 = 3 \)
El lado izquierdo y el lado derecho son ambos iguales a 3 para \( x = 2 \), por lo tanto, \( x = 2 \) es una solución de la ecuación dada.
El método para resolver ecuaciones con fracciones adoptado aquí es aquel en el que nos deshacemos de las fracciones primero (para evitar lidiar con fracciones) mediante la multiplicación y luego resolvemos la ecuación.
Ejemplo 6
Resuelve la ecuación \( \quad \dfrac{x}{2} = - 3 \) y verifica la solución obtenida.
Solución para el Ejemplo 6
Para eliminar el denominador \( 2 \) en \( \dfrac{x}{2} \), multiplicamos ambos lados de la ecuación por el denominador \( 2 \)
\( \quad \color{red}2 \left(\dfrac{x}{2} \right) = \color{red}2 (- 3) \)
Simplifica
\( \quad x = - 6 \)
Verifica la solución obtenida en la ecuación original (dada)
Lado izquierdo de la ecuación para \( x = -6 \) : \( \quad \dfrac{x}{2} = \dfrac{-6}{2} = - 3 \)
El lado izquierdo y el lado derecho son ambos iguales a \( - 3 \) para \( x = - 6 \), por lo tanto, \( x = - 6 \) es una solución de la ecuación dada.
Ejemplo 7
Resuelve la ecuación \( \quad \dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \) y verifica la solución obtenida.
Solución para el Ejemplo 7
Ahora tenemos dos fracciones con denominadores \( 2 \) y \( 3 \) en la ecuación dada. Para deshacernos de las fracciones, necesitamos multiplicar ambos lados de la ecuación por el MCM (mínimo común múltiplo) de los dos denominadores diferentes \( 2 \) y \( 3 \).
Encuentra el MCM de \( 2 \) y \( 3 \), que es \( 6 \).
Multiplica ambos lados de la ecuación por el MCM que es \( 6 \)
\( \quad\quad \color{red}6 \left( \dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{2} \right) = \color{red}6 \left(\dfrac{1}{3}\right) \)
Distribuye el factor \( 6 \)
\( \quad\quad 6 \left(\dfrac{x}{3} \right) - 6 \left(\dfrac{1}{2} \right) = 6 \left(\dfrac{1}{3} \right) \)
Rearregla como
\( \quad\quad \left(\dfrac{6}{3} \right) x - \left(\dfrac{6}{2} \right) = \left(\dfrac{6}{3} \right) \)
Simplifica
\( \quad\quad 2x - 3 = 2 \)
NOTA: Se necesita un paso, que es la multiplicación de ambos lados de la ecuación por el MCM de los denominadores, para deshacernos de las fracciones porque el MCM es un múltiplo de cada denominador.
Resuelve la ecuación anterior sumando \( 3 \) a ambos lados y simplifica para obtener
\( \quad\quad 2 x = 5 \)
Divide ambos lados por \( 2 \)
\( \quad\quad x = \dfrac{5}{2} \)
Verifica la solución obtenida en la ecuación original (dada)
Lado izquierdo de la ecuación para \( x = \dfrac{5}{2} \) : \( \quad \dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \left(\dfrac{5}{2}\right) - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \)
El lado izquierdo y el lado derecho son ambos iguales a \( \dfrac{1}{3} \) para \( x = \dfrac{5}{2} \), por lo tanto, \( x = \dfrac{5}{2} \) es una solución de la ecuación dada.
