Factorización de Polinomios

Factorizar un polinomio significa reescribirlo como un producto de polinomios más simples que no se pueden factorizar más sobre los números reales. Por ejemplo,

\[ x^2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4) \]

A continuación encontrarás las principales fórmulas de factorización, ejemplos resueltos con soluciones completas y preguntas de práctica con respuestas. También hay disponible una calculadora de factorización de polinomios para verificar tu trabajo.

Factorización de Polinomios: Fórmulas Clave

  1. Factor común (propiedad distributiva inversa) \[ ax + ay = a(x + y) \]
  2. Factorización por agrupación \[ ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y) \]
  3. Diferencia de dos cuadrados \[ x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) \]
  4. Diferencia de dos cuadrados (extendida) \[ (x + y)^2 - z^2 = (x + y + z)(x + y - z) \]
  5. Suma de dos cubos \[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \]
  6. Diferencia de dos cubos \[ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \]
  7. Diferencia de cuartas potencias \[ x^4 - y^4 = (x + y)(x - y)(x^2 + y^2) \]
  8. Trinomios cuadrados perfectos \[ x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2 \] \[ x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2 \]
  9. Cubos perfectos \[ x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = (x + y)^3 \] \[ x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 = (x - y)^3 \]

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Factorizar Sacando un Factor Común

Factoriza el binomio

\[ 12x - 8 \]

Solución

El máximo común divisor de 12 y 8 es 4. Reescribe cada término usando este factor:

\[ 12x - 8 = 4(3x) - 4(2) \]

Factoriza 4:

\[ 12x - 8 = 4(3x - 2) \]

Puedes comprobar el resultado expandiendo \(4(3x - 2)\).

Ejemplo 2: Diferencia de Dos Cuadrados

Factoriza el binomio

\[ 9 - 4x^2 \]

Solución

Reescribe la expresión como una diferencia de cuadrados:

\[ 9 - 4x^2 = 3^2 - (2x)^2 \]

Aplica la fórmula de diferencia de cuadrados:

\[ 9 - 4x^2 = (3 - 2x)(3 + 2x) \]

Ejemplo 3: Factorización de un Trinomio

Factoriza el trinomio

\[ 9x^2 + 3x - 2 \]

Solución

Supón una factorización de la forma

\[ (ax + m)(bx + n) \]

Al expandir se obtiene

\[ abx^2 + x(mb + na) + mn \]

Iguala los coeficientes con \(9x^2 + 3x - 2\):

\[ ab = 9, \quad mb + na = 3, \quad mn = -2 \]

Eligiendo \(a = 3\), \(b = 3\), \(m = 2\) y \(n = -1\) se cumplen todas las condiciones. Por lo tanto,

\[ 9x^2 + 3x - 2 = (3x + 2)(3x - 1) \]

Ejemplo 4: Factorización por Agrupación

Factoriza el polinomio

\[ x^3 + 2x^2 - 16x - 32 \]

Solución

Agrupa términos con factores comunes:

\[ (x^3 + 2x^2) - (16x + 32) \]

Factoriza cada grupo:

\[ x^2(x + 2) - 16(x + 2) \]

Factoriza \(x + 2\):

\[ (x + 2)(x^2 - 16) \]

Aplica la diferencia de cuadrados:

\[ (x + 2)(x + 4)(x - 4) \]

Preguntas de Práctica

Parte A: Factoriza los polinomios

  1. \((x + 1)^2 - 4\)
  2. \(x^2 + 5x + 6\)
  3. \(x^3 - 1\)
  4. \(x^3 - x^2 - 25x + 25\)
  5. \(27 + 8x^3\)

Parte B

Demuestra que

\[ x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 = (x - y)^3 \]

Soluciones

Parte A

  1. \[(x + 1)^2 - 4 = (x - 1)(x + 3)\]
  2. \[x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)\]
  3. \[x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)\]
  4. \[x^3 - x^2 - 25x + 25 = (x - 1)(x + 5)(x - 5)\]
  5. \[27 + 8x^3 = (3 + 2x)(4x^2 - 6x + 9)\]

    Nota: El cuadrático \(4x^2 - 6x + 9\) no se puede factorizar sobre los números reales.

Parte B

Agrupando y factorizando paso a paso:

\[ \begin{aligned} x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 \\ &= (x^3 - y^3) - (3x^2y - 3xy^2) \\ &= (x - y)(x^2 + xy + y^2) - 3xy(x - y) \\ &= (x - y)(x^2 - 2xy + y^2) \\ &= (x - y)^3 \end{aligned} \]

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