Este tutorial presenta una revisión y una colección de problemas con soluciones detalladas sobre cómo encontrar funciones polinomiales a partir de sus ceros, multiplicidades y gráficas. Los ejemplos incluyen polinomios con coeficientes reales y ceros complejos.
Sea \(p(x)\) una función polinomial con coeficientes reales. Si \[ p(s) = 0, \] entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
La unidad imaginaria se define por \[ i = \sqrt{-1}. \] Si \(p(x)\) tiene coeficientes reales y \(a + ib\) es un cero complejo de \(p(x)\), entonces su conjugado complejo \(a - ib\) también es un cero.
Sea \[ p(x) = x^3 - 2x^2 + 2x - 4. \]
La gráfica a continuación representa una función polinomial \(p(x)\) con coeficientes reales. El grado de \(p(x)\) es 3 y todos los ceros son enteros. Encuentra \(p(x)\).
La gráfica muestra dos intersecciones con el eje x en \(x = -1\) y \(x = 2\). La intersección en \(x = -1\) tiene multiplicidad 2. Por lo tanto, \[ p(x) = a(x + 1)^2(x - 2), \quad a \neq 0. \]
La intersección con el eje y es \((0, -2)\), entonces \(p(0) = -2\): \[ a(1)^2(-2) = -2. \] Resolviendo se obtiene \(a = 1\).
Por lo tanto, \[ p(x) = (x + 1)^2(x - 2). \]
Una función polinomial \(p(x)\) de grado 5 con coeficientes reales tiene los ceros \(-1\), \(2\) (con multiplicidad 2), \(0\) y \(1\). Si \(p(3) = -12\), encuentra \(p(x)\).
El polinomio se puede escribir como \[ p(x) = a\,x(x + 1)(x - 2)^2(x - 1), \quad a \neq 0. \]
Usando \(p(3) = -12\): \[ a(3)(4)(1)^2(2) = -12. \] Esto da \(a = -\tfrac{1}{2}\).
Por lo tanto, \[ p(x) = -\tfrac{1}{2}x(x + 1)(x - 2)^2(x - 1). \]
El número \(2 + i\) es un cero del polinomio \[ p(x) = x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 22x - 15. \] Encuentra todos los demás ceros.
Dado que \(p(x)\) tiene coeficientes reales, el conjugado \(2 - i\) también es un cero. Entonces \[ p(x) = (x - (2 + i))(x - (2 - i))q(x). \]
Calcula \[ (x - (2 + i))(x - (2 - i)) = x^2 - 4x + 5. \]
Dividiendo \(p(x)\) por \(x^2 - 4x + 5\) se obtiene \[ q(x) = x^2 + 2x - 3. \]
Factoriza: \[ x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3). \]
Los ceros son \[ 2 + i, \; 2 - i, \; 1, \; -3. \]
El número \(-3 - i\) es un cero del polinomio \[ p(x) = x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x + 10. \] Encuentra todos los demás ceros.
Debido a que los coeficientes son reales, el conjugado \(-3 + i\) también es un cero. Entonces \[ p(x) = (x + 3 + i)(x + 3 - i)q(x). \]
Calcula \[ (x + 3 + i)(x + 3 - i) = x^2 + 6x + 10. \]
Dividiendo se obtiene \[ q(x) = x^2 + 1. \]
Resuelve \[ x^2 + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm i. \]
Los ceros de \(p(x)\) son \[ -3 - i, \; -3 + i, \; i, \; -i. \]