Función Cosecante csc x

Definición y Gráfica de la Función Cosecante

El ángulo \( \theta \) con lado inicial en el eje x positivo y lado terminal OM se muestra a continuación. Es un ángulo en posición estándar.


La función cosecante \( csc (\theta) \) se define como
\( \csc(\theta) = \dfrac{r}{y} \), donde \( r \) es la distancia de O a M y está dada por \( r = \sqrt{x^2+y^2} \).
Un examen de la definición de la cosecante da una relación entre \( csc (\theta) \) y \( sin (\theta) \) como sigue
\( \csc(\theta) = \dfrac{r}{y} = \dfrac{1}{\sin(\theta)}\)

Note que
1) \( \csc(\theta+2\pi) = \dfrac{1}{\sin(\theta+2\pi)} = \dfrac{1}{\sin(\theta)}= \csc(\theta)\)
y por lo tanto \( \csc(\theta) \) es una función periódica cuyo período es igual a \( 2\pi \).

2) \( \csc(-\theta) = \dfrac{1}{\sin(-\theta)} = \dfrac{1}{-\sin(\theta)} = - \dfrac{1}{\sin(\theta)} = - \csc(\theta)\)
y por lo tanto \( \csc(\theta) \) es una función impar y su gráfica es simétrica con respecto al origen de un sistema de coordenadas rectangular.

Ahora usamos un círculo unitario para encontrar \( \sin(\theta)\) y por tanto \( \csc(\theta)\) en un período que va desde \( \theta = 0 \) hasta \( \theta = 2\pi \).
Sabemos por las funciones seno y coseno que las coordenadas x e y en un círculo unitario dan los valores de \( \sin(\theta)\) y \( \cos(\theta)\) como se muestra a continuación.


Pongamos ahora los valores de los ángulos cuadrantales \( 0, \dfrac{\pi}{2} , \pi , \dfrac{3\pi}{2} , 2\pi \) y los correspondientes valores de \( \sin(\theta)\) y \( \csc (\theta) = \dfrac{1}{\sin (\theta)} \) en una tabla como se muestra a continuación.

Propiedades de csc x

1) csc x tiene un período igual a \( 2\pi \).
2) \( \csc(x) \) tiene asíntotas verticales en todos los valores de \( x = n\pi \), donde \( n \) es cualquier entero.
3) El dominio de \( \csc(x) \) es el conjunto de todos los números reales excepto \( x = n\pi \), \( n \) cualquier entero.
4) El rango de \( \csc(x) \) está dado por: \( (-\infty , -1] \cup [1, +\infty) \)
5) \( \csc(x) \) es una función impar y su gráfica es simétrica con respecto al origen del sistema de ejes.

Tutorial Interactivo sobre la Función Cosecante csc x de la Forma General

\( f(x) = a \csc( b x + c ) + d \)

1 - Use la barra de desplazamiento para establecer a = 1, b = 1, c = 0 y d = 0. Ahora cambie a, ¿cómo afecta a la gráfica? ¿Afecta el rango? Si es así, ¿cómo?

2 - Establezca a = 1, c = 0, d = 0 y cambie b. Para cada valor de b, encuentre el período desde la gráfica y compárelo con \( \dfrac{2\pi}{|b|} \), fórmula del período de \( f(x) = a \csc( b x + c ) + d \). ¿Cómo afecta b a la gráfica de f(x)? ¿Cómo afecta a las asíntotas verticales?

3 - Establezca a = 1, b = 1, d = 0 y cambie c comenzando desde cero y yendo lentamente hacia valores positivos grandes. Observe el desplazamiento, ¿es hacia la izquierda o hacia la derecha? y compárelo con \( - c / b\), fórmula del desplazamiento de fase de \( f(x) = a \csc( b x + c ) + d \).

4 - Establezca a = 1, b = 1, d = 0 y cambie c comenzando desde cero y yendo lentamente hacia valores negativos más pequeños. Observe el desplazamiento, ¿es hacia la izquierda o hacia la derecha? y compárelo con \( - c / b\).

5 - Repita los pasos 4 y 5 anteriores para b = 2, 3 y 4.

6 - Establezca a, b y c en valores no nulos y cambie d. ¿Cuál es la dirección del desplazamiento de la gráfica? ¿Cómo se ve afectado el rango de la función?

7 - ¿Cuáles de los parámetros afectan las posiciones de las asíntotas verticales? Explique analíticamente.

8 - ¿Cuáles de los parámetros afectan el dominio de la función? Explique analíticamente.

9 - ¿Cuáles de los parámetros afectan el rango de la función cosecante? Explique analíticamente.

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