Uso de Funciones Seno para Modelar Problemas del Mundo Real

Este tutorial explica cómo usar funciones seno para modelar datos provenientes de situaciones reales. Dada información sobre un fenómeno que varía periódicamente, lo modelamos usando una función trigonométrica.

Forma General de las Funciones Seno y Coseno

Un modelo sinusoidal se puede escribir en la forma

\[ f(x) = A \sin(bx + c) + D \]

o equivalentemente,

\[ f(x) = A \cos(bx + c) + D \]

Las funciones seno y coseno oscilan entre un valor máximo y un valor mínimo. Sea \( M \) el valor máximo y \( m \) el valor mínimo de \( f(x) \). Asumiendo que \( A > 0 \), se cumple lo siguiente:

El valor máximo ocurre cuando \( \sin(bx + c) = 1 \), dando

\[ M = A + D \]

El valor mínimo ocurre cuando \( \sin(bx + c) = -1 \), dando

\[ m = -A + D \]

Resolviendo el sistema \( M = A + D \) y \( m = -A + D \) se obtiene:

\[ A = \frac{M - m}{2} \] \[ D = \frac{M + m}{2} \]

Estas fórmulas son esenciales para modelar datos con funciones seno.

Problema 1

Encuentra \( A \), \( b \), \( c \), y \( D \) para que la función

\[ f(x) = A \sin(bx + c) + D \]

satisfaga las siguientes condiciones:

El valor máximo es 7
El valor mínimo es 3
\( f(0) = 7 \)
El período es \( \frac{2\pi}{3} \)
\( A, b, c > 0 \) y \( c < 2\pi \)

Solución:

Usando las fórmulas de valor máximo y mínimo dadas arriba: \[ A = \frac{7 - 3}{2} = 2, \qquad D = \frac{7 + 3}{2} = 5 \]
El período de \( f(x) = A\sin(bx + c) + D \) está dado por \[ \text{Período} = \frac{2\pi}{b} = \frac{2\pi}{3} \] Despeja \( b \) para obtener \[ b = 3 \]
Sustituyendo \( A \), \( b \), y \( D \) se obtiene \[ f(x) = 2\sin(3x + c) + 5 \]
Usando \( f(0) = 7 \): \[ 2\sin(c) + 5 = 7 \Rightarrow \sin(c) = 1 \]
La solución es \[ c = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \] Dado que \( 0 < c < 2\pi \), elegimos \[ c = \frac{\pi}{2} \]

Modelo final:

\[ f(x) = 2\sin\left(3x + \frac{\pi}{2}\right) + 5 \]

Problema 2: Modelado de Horas de Luz Diurna

En cierta ciudad, el número de horas de luz diurna \( H(t) \) en el tiempo \( t \) (en días) se modela mediante

\[ H(t) = A \sin\!\left(\frac{2\pi}{365}t + c\right) + D \]

Aquí, \( t = 0 \) corresponde al 1 de enero. La luz diurna máxima (15 horas) ocurre el 21 de junio, que es el día 171. El número mínimo de horas de luz diurna es 11. Encuentra \( A \), \( c \), y \( D \).

Solución:

A partir de los valores máximo y mínimo: \[ A = \frac{15 - 11}{2} = 2, \qquad D = \frac{15 + 11}{2} = 13 \]
El modelo se convierte en: \[ H(t) = 2\sin\!\left(\frac{2\pi}{365}t + c\right) + 13 \]
Usando \( H(171) = 15 \): \[ 2\sin\!\left(\frac{2\pi}{365}\cdot171 + c\right) + 13 = 15 \] lo que da \[ \sin\!\left(\frac{2\pi}{365}\cdot171 + c\right) = 1 \]
Por lo tanto, \[ \frac{2\pi}{365}\cdot171 + c = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \] Eligiendo \( k = 0 \): \[ c = \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{365}\cdot171 \approx -1.37 \]

Modelo de luz diurna final:

\[ H(t) = 2\sin\!\left(\frac{2\pi}{365}t - 1.37\right) + 13 \]

Lectura Adicional

Tutoriales y Problemas de Práctica de Trigonometría