Función Seno sin x
Definición y Gráfica de la Función Seno
Consideramos primero el ángulo θ con lado inicial en el eje x positivo (en posición estándar) y lado terminal OM como se muestra a continuación.
La función seno se define como
\[ \sin(\theta) = \dfrac{y}{r} \]
donde \( r \ \) es la distancia desde el origen O a cualquier punto M en el lado terminal del ángulo y está dada por
\[ r = \sqrt{x^2+y^2} \]
Si el punto M en el lado terminal del ángulo θ es tal que OM = r = 1, podemos usar un círculo con radio igual a 1 llamado círculo unitario para evaluar la función seno de la siguiente manera:
\[ sin(\theta) = y / r = y / 1 = y\]
\( \sin(\theta) \) es igual a la coordenada y de un punto en el lado terminal de un ángulo en posición estándar y también en un círculo unitario.
Es incluso más fácil y no se necesita calculadora para encontrar \( \sin(\theta) \) para los ángulos cuadrantales: \( 0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, ... \) como se muestra en el círculo unitario a continuación:
Las coordenadas del punto correspondiente a \( \theta = 0 \) en el círculo unitario son: (1,0). La coordenada y es igual a 0, por lo tanto \( \sin(0) = 0\)
Las coordenadas del punto correspondiente a \( \theta = \dfrac{\pi}{2} \) en el círculo unitario son: (0,1). La coordenada y es igual a 1, por lo tanto \( \sin(\dfrac{\pi}{2}) = 1\)
y así sucesivamente.
Ahora coloquemos los valores de los ángulos cuadrantales \( 0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2} , 2\pi \) y los valores de sus senos en una tabla como se muestra a continuación.
| \( \theta \) |
\( \sin(\theta) \) |
| \( 0 \) |
\( 0 \) |
| \( \dfrac{\pi}{2} \) |
\( 1 \) |
| \( \pi \) |
\( 0 \) |
| \( \dfrac{3\pi}{2} \) |
\( -1 \) |
| \( 2\pi \) |
\( 0 \) |
Ahora usamos un sistema de ejes rectangulares \( (x,y) \) para trazar los puntos de la tabla anterior y aproximar la gráfica de la función seno como se muestra a continuación.
NOTA sin embargo, que como estamos acostumbrados a que \( x \) sea la variable de una función, \(x\) en la gráfica toma los valores de \( \theta \) e y toma los valores de \( \sin(\theta) \) que se anota como \( y = \sin(x) \).
Después de \( 2\pi \), y a medida que \( \theta \) aumenta, los valores de \( \sin(\theta) \) se repetirán en los ángulos cuadrantales. Decimos que la función seno tiene un periodo de \( 2\pi \) que se muestra abajo en rojo.
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Funciones Seno Generales
Una función seno más general se escribe como
\( f(x) = a \sin(b x + c) + d \)
con su amplitud \( |a| \), periodo \( \dfrac{2\pi}{|b|} \) y desfase \( -\dfrac{c}{b} \) se exploran interactivamente usando un applet de html 5. La investigación se lleva a cabo cambiando los parámetros \( a, b, c\) y \( d \). Para comprender profundamente los efectos de cada parámetro en la gráfica de la función, cambiamos un parámetro a la vez al principio. Luego podremos cambiar más de un parámetro.
La exploración y comprensión del desfase se realiza comparando el desplazamiento entre las gráficas de las dos funciones:
\( f(x) = a \sin(b x + c) + d \)
en azul y
\( g(x) = a \sin(b x) + d \)
en rojo como se muestra en la siguiente figura.
También es posible que desees considerar otro tutorial sobre el círculo unitario trigonométrico.
Tutorial Interactivo Usando Applet Html 5
\( y = f(x) = a \sin(b x + c) + d \) , en azul (con desfase)
\( y = f(x) = a \sin(b x) + d \) , en rojo (sin desfase, c = 0)
¿Cómo afectan los 4 coeficientes a, b, c y d a la gráfica de f(x)?
Amplitud
Establece a = 1, b = 1, c = 0 y d = 0. ¿Escribes f(x) y tomas nota de la amplitud, el periodo y el desfase de f(x)? Ahora cambia a, ¿cómo afecta a la gráfica? La amplitud se define como \( |a| \).
Respuesta
Periodo
establece a = 1, c = 0, d = 0 y cambia b. Encuentra el periodo a partir de la gráfica y compáralo con \( \dfrac{2\pi}{|b|} \). ¿Cómo afecta b al periodo de la gráfica de f(x)?
El periodo es la distancia horizontal (a lo largo del eje x) entre dos puntos: uno es el punto de inicio de un ciclo y el segundo es el punto final del mismo ciclo; dos máximos o mínimos sucesivos, por ejemplo.
Respuesta
Desfase
establece a = 1, b = 1, d = 0 y cambia el parámetro c comenzando desde cero y yendo lentamente hacia valores positivos más grandes. Toma nota del desplazamiento, ¿es hacia la izquierda o hacia la derecha?
Respuesta
establece a = 1, b = 1, d = 0 y cambia el parámetro c comenzando desde cero y yendo lentamente hacia valores negativos más pequeños. Toma nota del desplazamiento, ¿es hacia la izquierda o hacia la derecha?
Respuesta
repite lo anterior para b = 2, 3 y 4, mide el desplazamiento y compáralo con - c/b (el desfase).
Respuesta
Desplazamiento Vertical
establece a, b y c en valores distintos de cero y cambia d. ¿Cuál es la dirección del desplazamiento de la gráfica?
Respuesta
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