How do you prove that arcsin(x) + arccos(x) = π/2 using derivatives?

To prove the identity, define f(x) = arcsin(x) + arccos(x). Compute its first derivative: f'(x) = 1/√(1 - x^2) - 1/√(1 - x^2) = 0 for all x in (-1, 1). Since the derivative is zero, f(x) is constant. Evaluating f(0) gives 0 + π/2 = π/2, confirming the identity holds for all x in [-1, 1].

What is the domain of the identity arcsin(x) + arccos(x) = π/2?

The identity is valid for all x in the closed interval [-1, 1], which is the shared domain of both arcsin(x) and arccos(x).

إثبات أن arcsin(x) + arccos(x) = π/2 باستخدام المشتقات

توضح هذه الصفحة كيفية استخدام التفاضل لإثبات المتطابقة المثلثية المهمة:

\[ \arcsin(x) + \arccos(x) = \dfrac{\pi}{2} \]

لجميع قيم \( x \) في المجال \([-1, 1]\).

نظرة عامة على الطريقة

لإثبات هذه المتطابقة، نقوم بتعريف دالة مساعدَة:

\[ f(x) = \arcsin(x) + \arccos(x) \]

سنوضح أن \( f(x) \) ثابتة عبر مجالها عن طريق حساب مشتقتها الأولى وإثبات أنها تساوي صفراً في كل مكان على الفترة المفتوحة \((-1, 1)\).

الإثبات خطوة بخطوة

الخطوة 1: حساب المشتقة الأولى

تذكر صيغ المشتقة القياسية لـ الجيب العكسي وجيب التمام العكسي:

\( \dfrac{d}{dx}[\arcsin(x)] = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)
\( \dfrac{d}{dx}[\arccos(x)] = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)

اشتقاق \( f(x) \) حدًا بحد يعطي:

\[ f'(x) = \dfrac{d}{dx}[\arcsin(x)] + \dfrac{d}{dx}[\arccos(x)] = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = 0 \]

الخطوة 2: إثبات أن الدالة ثابتة

بما أن \( f'(x) = 0 \) لكل \( x \in (-1, 1) \)، يترتب من مبرهنة القيمة المتوسطة (أو خصائص الدوال الثابتة) أن \( f(x) \) يجب أن تكون قيمة ثابتة، وليكن \( C \)، طوال الفترة. وبواسطة الاتصال، يمتد هذا الثبات إلى الطرفين المغلقين \([-1, 1]\).

الخطوة 3: التقييم عند نقطة محددة

لتحديد القيمة الدقيقة لهذا الثابت \( C \)، نقوم بتقييم \( f(x) \) عند نقطة يمكن حسابها بسهولة داخل المجال. لنختر \( x = 0 \):

\[ f(0) = \arcsin(0) + \arccos(0) \]

بما أن \( \arcsin(0) = 0 \) و \( \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} \):

\[ f(0) = 0 + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} \]

النتيجة النهائية

بما أن \( f(x) \) دالة ثابتة تساوي \( \dfrac{\pi}{2} \) في كل مكان على مجالها، فإننا نستنتج أن:

\[ \arcsin(x) + \arccos(x) = \dfrac{\pi}{2} \]

لجميع \( x \in [-1, 1] \).