تقعر الدوال التربيعية

تحديد التقعر نحو الأعلى والتقعر نحو الأسفل باستخدام المشتقات والمعاملات الرئيسية

يوضح هذا الدرس التعليمي كيفية تحديد تقعر الدوال التربيعية باستخدام المشتقة الثانية والمعامل الرئيسي.

تقعر الدوال التربيعية

يتم تحديد تقعر الدالة من خلال إشارة مشتقتها الثانية. بالنسبة لدالة تربيعية على الصورة:

\[ f(x) = a x^{2} + b x + c, \quad a \neq 0 \]

المشتقة الأولى والثانية هما:

\[ f'(x) = 2 a x + b \]
\[ f''(x) = 2 a \]

بما أن \( f''(x) \) ثابتة وتعتمد كلياً على \( a \)، فإن تقعر القطع المكافئ يتم تحديده من خلال إشارة \( a \):

  • إذا كان \( a > 0 \)، فإن \( f''(x) > 0 \) ويكون المنحنى مقعراً نحو الأعلى (Concave Up).
  • إذا كان \( a < 0 \)، فإن \( f''(x) < 0 \) ويكون المنحنى مقعراً نحو الأسفل (Concave Down).

أمثلة محلولة

توضح الأمثلة أدناه هذه الحالات مع حلول مفصلة.

المثال 1: تقعر الدالة التربيعية

حدد تقعر الدالة التربيعية التالية:

\[ f(x) = (2 - x)(x - 3) + 3 \]

حل المثال 1

أولاً، قم بفك الأقواس وإعادة كتابة الدالة \( f(x) \):

\[ f(x) = -x^{2} + 5x - 3 \]

المعامل الرئيسي \( a = -1 \) سالب، لذا فإن المنحنى مقعر نحو الأسفل.

Graph of quadratic function Example 1

المثال 2: تقعر الدالة التربيعية

حدد تقعر الدالة التربيعية التالية:

\[ f(x) = -2(x - 1)(x - 2) + 3 x^{2} \]

حل المثال 2

قم بفك الأقواس وتبسيط الدالة \( f(x) \):

\[ f(x) = x^{2} + 6x - 4 \]

المعامل الرئيسي \( a = 1 \) موجب، لذا فإن المنحنى مقعر نحو الأعلى.

Graph of quadratic function Example 2

التمارين والإجابات

حدد تقعر كل دالة تربيعية أدناه:

  1. \( f(x) = (2 - x)(4 - x) \)
  2. \( f(x) = -2(x - 3)^{2} - 5 \)
  3. \( f(x) = x(x + 3) - 2(x - 3)^{2} \)

الإجابات

  1. مقعر نحو الأعلى (بعد الفك يعطي \( x^2 - 6x + 8 \)، حيث \( a = 1 > 0 \))
  2. مقعر نحو الأسفل (بعد الفك يعطي \( -2x^2 + 12x - 23 \)، حيث \( a = -2 < 0 \))
  3. مقعر نحو الأسفل (بعد الفك يعطي \( -x^2 + 15x - 18 \)، حيث \( a = -1 < 0 \))