What is a critical number of a function?

A number a in the domain of a function f is called a critical number if either f'(a) = 0 or f'(a) is undefined.

How do you find critical numbers for polynomial functions?

Find the first derivative of the polynomial function, set it equal to zero, and solve for x. All real solutions that lie within the function's domain are critical numbers.

Are points where the derivative is undefined always critical numbers?

They are critical numbers only if the point x = a lies within the actual domain of the original function f.

كيفية إيجاد الأعداد الحرجة للدوال

تعلم كيفية تحديد الأعداد الحرجة لأنواع الدوال المختلفة — بما في ذلك كثيرات الحدود، والقيم المطلقة، والتعابير الكسرية، والجذور — باستخدام المشتقات.

تعريف الأعداد الحرجة

يُسمى العدد \( a \) في مجال الدالة \( f \) عددًا حرجًا للدالة \( f \) إذا كان:

\[ f'(a) = 0 \quad \text{or} \quad f' \text{ is undefined at } x = a. \]

أمثلة خطوة بخطوة

المثال 1: دالة كثيرات الحدود \( f(x) = x^{3} - 3x + 5 \)

مجال الدالة \( f \) هو جميع الأعداد الحقيقية. مشتقتها هي:

\[ f'(x) = 3x^{2} - 3. \]

بما أن \( f' \) معرفة في كل مكان، حل المعادلة \( f'(x) = 0 \):

\[ 3x^{2} - 3 = 0 \implies x^{2} = 1 \implies x = \pm 1. \]

كل من \( x = 1 \) و \( x = -1 \) يقعان في المجال، لذا فهما أعداد حرجة.

المثال 2: دالة القيمة المطلقة \( f(x) = |x - 2| \)

المجال هو جميع الأعداد الحقيقية. بما أن \( |u| = \sqrt{u^{2}} \) حيث \( u = x - 2 \)، أعد كتابة \( f \) بالشكل:

\[ f(x) = \sqrt{(x - 2)^{2}}. \]

باستخدام قاعدة السلسلة، المشتقة هي:

\[ f'(x) = \dfrac{(x - 2)}{|x - 2|}. \]

لاحظ أن \( f' \) غير معرفة عند \( x = 2 \). وبما أن \( 2 \) يقع في المجال، فهو عدد حرج.

المثال 3: تحليل المشتقة بيانيًا

أوجد الأعداد الحرجة للدالة \( f \) التي يظهر مشتقاتها \( f' \) بيانيًا أدناه.

Graph of derivative showing zeros and undefined points

الأعداد الحرجة هي \( x = 1, -2, -3 \) حيث \( f'(x) = 0 \)، و \( x = 0 \) حيث تكون \( f' \) غير معرفة.

المثال 4: الدالة الكسرية \( f(x) = \dfrac{x^{2} + 7}{x + 3} \)

المجال هو جميع الأعداد الحقيقية عدا \( x = -3 \). باستخدام قاعدة القسمة، المشتقة هي:

\[ f'(x) = \dfrac{2x(x + 3) - (x^{2} + 7)(1)}{(x + 3)^2} = \dfrac{x^{2} + 6x - 7}{(x + 3)^2}. \]

مساواة البسط بالصفر:

\[ x^{2} + 6x - 7 = 0 \implies (x + 7)(x - 1) = 0 \implies x = -7 \text{ or } x = 1. \]

على الرغم من أن \( f' \) غير معرفة عند \( x = -3 \)، إلا أن \( -3 \) ليس موجودًا في المجال، لذا فهو ليس عددًا حرجًا. بناءً على ذلك، الأعداد الحرجة هي \( x = -7 \) و \( x = 1 \).

المثال 5: الدالة الجذرية \( f(x) = (x - 2)^{\dfrac{2}{3}} + 3 \)

المجال هو جميع الأعداد الحقيقية. مشتقتها هي:

\[ f'(x) = \dfrac{2}{3}(x - 2)^{-\dfrac{1}{3}} = \dfrac{2}{3(x - 2)^{\dfrac{1}{3}}}. \]

المشتقة غير معرفة عند \( x = 2 \)، والذي يقع في المجال. إذن، \( x = 2 \) هو عدد حرج.

تمارين على الأعداد الحرجة

أوجد الأعداد الحرجة للدوال التالية:

\( f(x) = 2x^{3} - 6x - 13 \)
\( f(x) = |x + 4| + 3 \)
\( f(x) = (x - 3)^{3} - 5 \)
\( f(x) = x^{\dfrac{1}{3}} + 2 \)
\( f(x) = \dfrac{x}{x + 4} \)

إجابات التمارين

\( 1, -1 \)
\( -4 \)
\( 3 \)
\( 0 \)
لا توجد أعداد حرجة