التقريب الخطي للدوال

أمثلة خطوة بخطوة، الصيغ، والحلول التفصيلية

التقريب الخطي هو تطبيق أساسي للتفاضل، يُستخدم لتقريب الدوال بدوال خطية بالقرب من نقطة معينة. تعرض هذه الصفحة أمثلة مفصلة مع حلول حول كيفية إيجاد التقريبات الخطية للدوال.

صيغة التقريب الخطي

يُحسب التقريب الخطي \( f_l \) لدالة \( f \) عند \( x = a \) من معادلة خط المماس لمنحنى الدالة \( f \) عند \( x = a \):

\[ f_l(x) = f(a) + f'(a)(x - a) \]
Tangent line and linear approximation illustration

بالنسبة لقيم \( x \) القريبة من \( a \)، تكون قيمتا \( f(x) \) و \( f_l(x) \) متقاربتين. وبما أن \( f_l(x) \) دالة خطية، فإنها بمثابة تقريب خطي للدالة \( f \).

تكون هذه التقنية مفيدة بشكل خاص لتحويل الدوال غير الجبرية مثل الدوال المثلثية العكسية، واللوغاريتمية، والأسية إلى خطية لتسهيل حساباتها. تليها الأمثلة أدناه.

أمثلة خطوة بخطوة

المثال 1: التقريب الخطي للدالة \( f(x) = \tan x \) بالقرب من \( x = 0 \)

أولاً، احسب المشتقة:

\[ f'(x) = \sec^2 x \]

قيّم المشتقة عند \( x = 0 \):

\[ f'(0) = \sec^2(0) = 1 \]

إذن، التقريب الخطي \( f_l(x) \) عند \( x = 0 \) هو:

\[ f_l(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) = 0 + 1 \cdot x = x \]

هذا يعني أن \(\tan x \approx x\) عندما تكون \( x \) قريبة من 0، حيث تُقاس \( x \) بـ الراديان.

جرب حساب \(\tan x\) وقارنها مع \( x \) للقيم:

\[ x = 0, 0.001, 0.01, 0.1, 0.2, 0.3, 0.5 \]
استخدم الآلة الحاسبة على وضع الراديان (radians) وراقب التقريب.

المثال 2: التقريب الخطي للدالة \( f(x) = \ln x \) بالقرب من \( x = 1 \)

احسب المشتقة:

\[ f'(x) = \dfrac{1}{x} \]

قيّم المشتقة عند \( x = 1 \):

\[ f'(1) = 1 \]

التقريب الخطي \( f_l(x) \) عند \( x = 1 \) هو:

\[ f_l(x) = \ln 1 + 1 \cdot (x - 1) = 0 + (x - 1) = x - 1 \]

إذن،

\[ \ln x \approx x - 1 \]
لكل \( x \) القريبة من 1.

قارن بين \(\ln x\) و \( x - 1 \) للقيم:

\[ x = 1, 1.001, 1.01, 1.1, 1.5 \]
باستخدام الآلة الحاسبة.

المثال 3: التقريب الخطي للدالة \( f(x) = e^x \) بالقرب من \( x = 0 \)

المشتقة هي:

\[ f'(x) = e^x \]

قيّم عند \( x = 0 \):

\[ f'(0) = 1 \]

التقريب الخطي \( f_l(x) \) عند \( x = 0 \) هو:

\[ f_l(x) = e^0 + 1 \cdot (x - 0) = 1 + x \]

قارن بين \( e^x \) و \( 1 + x \) للقيم:

\[ x = 0, 0.001, 0.01, 0.1, 0.5 \]
باستخدام الآلة الحاسبة.

الخلاصة والمزيد من الدراسة

التقريب الخطي هو أحد أبسط الطرق لتقريب الدوال المتسامية التي لا يمكن التعبير عنها جبرياً. وهناك تقنيات أكثر تقدمًا للحصول على تقريبات أفضل.

لمزيد من الدراسة، راجع المزيد من تطبيقات التفاضل.