مشتقة والقيمة العظمى والصغرى للدوال التربيعية

تحليل خطوة بخطوة باستخدام المشتقات، والرسوم البيانية، وتمارين التدريب

يُستخدم التفاضل لتحليل الخصائص الرئيسية للدوال التربيعية مثل فترات التزايد والتناقص، والقيم العظمى المحلية، والقيم الصغرى المحلية.

أ - الدالة التربيعية في الصورة العامة

تُكتب الدوال التربيعية في صورتها العامة بالشكل:

\[ f(x) = a x^2 + b x + c \]

حيث \(a\) و \(b\) و \(c\) أعداد حقيقية مع \(a \neq 0\).

المشتقة الأولى للدالة \(f\) هي:

\[ f'(x) = 2 a x + b \]

لتحديد نقاط القيمة العظمى أو الصغرى وفترات التزايد والتناقص، قم بتحليل إشارة \(f'(x)\). تكون المشتقة موجبة إذا كان:

\[ 2 a x + b > 0 \quad \Rightarrow \quad 2 a x > -b \]

نأخذ في الاعتبار حالتين بناءً على إشارة \(a\):

الحالة 1: \(a > 0\)

بقسمة طرفي المتباينة على \(2a > 0\)، نحصل على:

\[ x > -\dfrac{b}{2a} \]

يوضح الجدول أدناه إشارة \(f'(x)\) وما إذا كانت الدالة \(f\) متزايدة أم متناقصة:

Table of sign for a > 0

وبالتالي، فإن الدالة التربيعية لها قيمة صغرى عند \(\left(-\dfrac{b}{2a}, f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)\)، وتكون متناقصة على الفترة \((-\infty, -\dfrac{b}{2a})\)، ومتزايدة على الفترة \(\left(-\dfrac{b}{2a}, +\infty\right)\).

الحالة 2: \(a < 0\)

بقسمة الطرفين على \(2a < 0\) تتغير جهة المتباينة:

\[ x < -\dfrac{b}{2a} \]

يتم تحليل إشارة \(f'(x)\) باستخدام الجدول التالي:

Table of sign for a < 0

في هذه الحالة، تمتلك الدالة التربيعية قيمة عظمى عند \(\left(-\dfrac{b}{2a}, f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)\)، وتكون متزايدة على الفترة \((-\infty, -\dfrac{b}{2a})\)، ومتناقصة على الفترة \(\left(-\dfrac{b}{2a}, +\infty\right)\).

ب - الدالة التربيعية في الصورة القياسية (رأس القطع)

تُكتب الدوال التربيعية في الصورة القياسية بالشكل:

\[ f(x) = a (x - h)^2 + k \]

حيث \(a \neq 0\)، و \(h, k\) أعداد حقيقية.

المشتقة هي:

\[ f'(x) = 2 a (x - h) \]

نحلل إشارة \(f'(x)\) بدراسة:

\[ a (x - h) > 0 \]

الحالة 1: \(a > 0\)

بقسمة الطرفين على \(a > 0\):

\[ x > h \]

استخدم الجدول التالي لتحليل الإشارة:

Table of sign for a > 0, vertex form

لذلك، الدالة التربيعية لها قيمة صغرى عند \((h, k)\)، وتناقصية على الفترة \((-\infty, h)\)، وتزايدية على الفترة \((h, +\infty)\).

الحالة 2: \(a < 0\)

بقسمة الطرفين على \(a < 0\) تنعكس المتباينة:

\[ x < h \]

يتم تحليل إشارة \(f'(x)\) باستخدام:

Table of sign for a < 0, vertex form

هنا، تمتلك الدالة التربيعية قيمة عظمى عند \((h, k)\)، وتكون متزايدة على \((-\infty, h)\)، ومتناقصة على \((h, +\infty)\).

أمثلة محلولة

المثال 1: أوجد القيم القصوى للدالة \( f(x) = 2x^2 - 8x + 1 \)

أولاً، أوجد المشتقة:

\[ f'(x) = 4x - 8 \]

تتغير إشارة المشتقة عند \(x = \dfrac{8}{4} = 2\). وبما أن \(a = 2 > 0\)، فإن الدالة \(f\) لها قيمة صغرى عند \((2, f(2)) = (2, -7)\).

سلوك الدالة:

  • متناقصة على الفترة \((-\infty, 2)\)
  • متزايدة على الفترة \((2, +\infty)\)
Graph of quadratic function in example 1
المثال 2: أوجد القيم القصوى للدالة \( f(x) = - (x + 3)^2 + 1 \)

المشتقة هي:

\[ f'(x) = -2(x + 3) \]

تتغير إشارة المشتقة عند \(x = -3\). وبما أن \(a = -1 < 0\)، فإن الدالة \(f\) لها قيمة عظمى عند \((-3, 1)\).

سلوك الدالة:

  • متزايدة على الفترة \((-\infty, -3)\)
  • متناقصة على الفترة \((-3, +\infty)\)
Graph of quadratic function in example 2

تمارين على خصائص الدوال التربيعية

لكل دالة تربيعية أدناه، أوجد النقطة الحدية (صغرى أو عظمى)، وفترة التزايد، وفترة التناقص:

  1. \( f(x) = x^2 + 6x \)
  2. \( f(x) = -x^2 - 2x + 3 \)
  3. \( f(x) = x^2 - 5 \)
  4. \( f(x) = -(x - 4)^2 + 2 \)
  5. \( f(x) = -x^2 \)

إجابات التمارين

  • a) صغرى عند \((-3, -9)\). متناقصة على \((-\infty, -3)\)، ومتزايدة على \((-3, +\infty)\).
  • b) عظمى عند \((-1, 4)\). متزايدة على \((-\infty, -1)\)، ومتناقصة على \((-1, +\infty)\).
  • c) صغرى عند \((0, -5)\). متناقصة على \((-\infty, 0)\)، ومتزايدة على \((0, +\infty)\).
  • d) عظمى عند \((4, 2)\). متزايدة على \((-\infty, 4)\)، ومتناقصة على \((4, +\infty)\).
  • e) عظمى عند \((0, 0)\). متزايدة على \((-\infty, 0)\)، ومتناقصة على \((0, +\infty)\).