نظريات الاتصال وتطبيقاتها في التفاضل والتكامل

نظريات، وتعريفات، وأمثلة خطوة بخطوة تتعلق بالدوال المتصلة

يتم عرض ومناقشة النظريات المتعلقة بـ اتصال الدوال وتطبيقاتها في التفاضل والتكامل مع أمثلة.

النظرية 1

جميع الدوال كثيرة الحدود والدوال \( \sin x \)، و\( \cos x \)، و\( \arctan x \)، و\( e^x \) متصلة على الفترة

\( (-\infty, +\infty) \)
.

مثال: تقييم النهايات باستخدام الاتصال

قيّم النهايات التالية:

  • \( \lim_{x\to 0} \sin (x) \)
  • \( \lim_{x\to\pi} \cos (x) \)
  • \( \lim_{x\to -1} \arctan(x) \)

الحل:

إذا كانت الدالة \( f \) متصلة عند \( x = a \)، فإن

\( \lim_{x\to a} f(x) = f(a) \)
.

  • بما أن \( \sin(x) \) متصلة:
    \( \lim_{x\to 0} \sin (x) = \sin(0) = 0 \)
  • بما أن \( \cos(x) \) متصلة:
    \( \lim_{x\to\pi} \cos (x) = \cos(\pi) = -1 \)
  • بما أن \( \arctan(x) \) متصلة:
    \( \lim_{x\to -1} \arctan(x) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} \)

النظرية 2

إذا كانت الدالتان \( f \) و\( g \) متصلتين عند \( x = a \)، فإن:

  • أ. \( (f + g) \) متصلة عند \( x = a \).
  • ب. \( (f - g) \) متصلة عند \( x = a \).
  • ج. \( (f \cdot g) \) متصلة عند \( x = a \).
  • د. \( (f / g) \) متصلة عند \( x = a \) إذا كانت \( g(a) \neq 0 \). (إذا كانت \( g(a) = 0 \)، فإن \( (f / g) \) غير متصلة عند \( x = a \)).
مثال: اتصال التركيبات الجبرية

لتكن \( f(x) = \sin x \) و\( g(x) = \cos x \). على أي فترات تكون الدوال \( (f + g) \)، و\( (f - g) \)، و\( (f \cdot g) \)، و\( (f / g) \) متصلة؟

الحل:

بما أن كلًا من \( \sin x \) و\( \cos x \) متصلتان في كل مكان، فوفقًا للنظرية 2، فإن \( (f + g) \)، و\( (f - g) \)، و\( (f \cdot g) \) متصلة في كل مكان.

ومع ذلك، فإن \( (f / g) \) متصلة في كل مكان ما عدا عند قيم \( x \) التي تجعل المقام \( g(x) = 0 \). يتم إيجاد هذه القيم عن طريق حل:

\[ \cos x = 0 \]

القيم التي تجعل \( \cos x = 0 \) هي:

\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \]

حيث \( k \) أي عدد صحيح. وبالتالي، فإن \( (f / g) \) متصلة في كل مكان ما عدا عند \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \).

النظرية 3

الدالة الكسرية متصلة في كل مكان ما عدا عند قيم \( x \) التي تجعل مقام الدالة مساويًا للصفر.

مثال: إيجاد نقاط عدم الاتصال

أوجد قيم \( x \) التي تكون عندها الدالة \( f \) غير متصلة:

\[ f(x) = \frac{x - 2}{(2x^2 + 2x - 4)(x^4 + 5)} \]

الحل:

مقام الدالة \( f \) هو حاصل ضرب حدين:

\[ (2x^2 + 2x - 4)(x^4 + 5) \]

الحد \( x^4 + 5 \) موجب دائمًا، وبالتالي لا يساوي الصفر أبدًا. نجد الآن جذور المقدار \( 2x^2 + 2x - 4 \) عن طريق حل:

\[ 2x^2 + 2x - 4 = 0 \]

بالقسمة على 2 نحصل على \( x^2 + x - 2 = 0 \)، والتي تحلل إلى \( (x - 1)(x + 2) = 0 \).

الحلول هي \( x = 1 \) و\( x = -2 \).

لذلك، الدالة \( f \) غير متصلة عند \( x = 1 \) و\( x = -2 \).

النظرية 4

إذا كانت \( \lim_{x\to a} g(x) = L \) وكانت \( f \) دالة متصلة عند \( x = L \)، فإن:

\[ \lim_{x\to a} f(g(x)) = f\left(\lim_{x\to a} g(x)\right) = f(L) \]
مثال: تقييم النهايات المركبة

قيّم النهاية:

\[ \lim_{x\to a} \sin(2x + 5) \]

الحل:

الدالة \( \sin x \) متصلة في كل مكان و\( 2x + 5 \) كثيرة حدود (متصلة في كل مكان). ومن ثم:

\[ \lim_{x\to a} \sin(2x + 5) = \sin\left(\lim_{x\to a}(2x + 5)\right) = \sin(2a + 5) \]

النظرية 5

إذا كانت \( g \) دالة متصلة عند \( x = a \) وكانت الدالة \( f \) متصلة عند \( g(a) \)، فإن الدالة المركبة \( f \circ g \) تكون متصلة عند \( x = a \).

مثال: إثبات اتصال الدوال الأسية المركبة

أثبت أن أي دالة من الشكل \( e^{ax + b} \) متصلة في كل مكان، حيث \( a \) و\( b \) أعداد حقيقية.

الحل:

الدالة الأسية \( f(x) = e^x \) والدالة الخطية \( g(x) = ax + b \) متصلتان في كل مكان. ومن ثم، فإن تركيبهما \( f(g(x)) = e^{ax + b} \) متصل أيضًا في كل مكان.

المزيد من المراجع وروابط