الدوال المتصلة في التفاضل والتكامل

التعريف، الأمثلة المرئية، والمسائل المحلولة

نقدم مقدمة وتعريفاً لمفهوم الدوال المتصلة في التفاضل والتكامل مع الأمثلة. كما تتم مناقشة نظريات الاتصال واستخداماتها في التفاضل والتكامل.

مقدمة وتعريف الدوال المتصلة

نبدأ أولاً برسوم بيانية لعدة دالات متصلة. يُقال إن الدوال التي تظهر رسومها البيانية أدناه متصلة نظراً لعدم وجود "انقطاعات"، أو "فجوات"، أو "ثقوب" في هذه الرسوم البيانية.

examples of graphs of continuous functions

نعرض الآن أمثلة على الدوال غير المتصلة. تحتوي هذه الرسوم البيانية على انقطاعات، أو فجوات، أو نقاط تكون عندها غير معرفة.

الحالة 1: غير معرفة عند نقطة (ثقب)

في الرسم البياني أدناه، الدالة غير معرفة عند \( x = 2 \). يحتوي الرسم البياني على ثقب عند \( x = 2 \) ويُقال إن الدالة غير متصلة.

example of a discontinuous function with a hole
الحالة 2: النهاية من اليسار ومن اليمين غير متطابقتين

في الرسم البياني أدناه، نهايتا الدالة من اليسار ومن اليمين غير متساويتين، وبالتالي فإن النهاية عند \( x = 3 \) غير موجودة. ويُقال إن الدالة غير متصلة.

example of a discontinuous function with limits from left and right not equal
الحالة 3: النهاية لا تساوي قيمة الدالة

نهاية الدالة عند \( x = 2 \) موجودة، لكنها لا تساوي قيمة الدالة عند \( x = 2 \). هذه الدالة غير متصلة أيضاً.

example of a discontinuous function where f(a) and lim f(x) as x approaches a not equal
الحالة 4: خط محارب رأسي (النهاية غير موجودة)

نهاية الدالة عند \( x = 3 \) غير موجودة نظراً لأن الدالة إما تزداد أو تتناقص بلا حدود إلى يسار ويمين 3. هذه الدالة غير متصلة أيضاً.

example of discontinuous function where the limit does not exist, vertical asymptote

مع أخذ جميع المعلومات المستمدة من أمثلة الدوال المتصلة وغير المتصلة الموضحة أعلاه بعين الاعتبار، نعرف الدالة المتصلة على النحو التالي:

تكون الدالة \( f \) متصلة عند النقطة \( a \) إذا تحققت الشروط الثلاثة التالية:

  • 1. \( f(a) \) معرفة
  • 2. \( \lim_{x\to a} f(x) \) موجودة
  • 3.
    \( \lim_{x\to a} f(x) = f(a) \)

أمثلة مع الحلول

المثال 1: عدم الاتصال بسبب القسمة على الصفر

أثبت أن الدالة \( f \) المعرفة أدناه ليست متصلة عند \( x = -2 \):

\[ f(x) = \frac{1}{x + 2} \]

الحل:

\( f(-2) \) غير معرفة (القسمة على 0 غير مسموحة)؛ ولذلك فإن الدالة \( f \) غير متصلة عند \( x = -2 \).

المثال 2: اتصال دالة كسرية

أثبت أن الدالة \( f \) متصلة لجميع قيم \( x \) في \( \mathbb{R} \):

\[ f(x) = \frac{1}{x^4 + 6} \]

الحل:

الدالة \( f \) معرفة لجميع قيم \( x \) في \( \mathbb{R} \). تُعطى نهاية الدالة \( f \) عند أي نقطة \( x = a \) بقسمة نهايتين: الثابت 1 ونهاية \( x^4 + 6 \)، وهي دالة كثيرة حدود نهايتها هي \( a^4 + 6 \). ومن ثم:

\[ \lim_{x\to a} f(x) = \frac{1}{a^4 + 6} \]

بما أن

\( f(a) = \frac{1}{a^4 + 6} \)
، فلدينا:

\[ \lim_{x\to a} f(x) = f(a) \]

تحققت شروط الاتصال الثلاثة، وبالتالي فإن \( f \) متصلة لجميع قيم \( x \) في \( \mathbb{R} \).

المثال 3: اتصال دالة القيمة المطلقة

أثبت أن الدالة \( f \) متصلة لجميع قيم \( x \) في \( \mathbb{R} \):

\[ f(x) = |x - 5| \]

الحل:

لنكتب الدالة \( f(x) \) على شكل دالة متشععة:

  • \( f(x) = x - 5 \) إذا كانت \( x > 5 \)
  • \( f(x) = -(x - 5) \) إذا كانت \( x < 5 \)
  • \( f(x) = 0 \) إذا كانت \( x = 5 \)

\( f(x) \) معطاة بالدالتين كثيرتي الحدود \( x - 5 \) و \( -(x - 5) \) عندما \( x > 5 \) وعندما \( x < 5 \) على التوالي، وبالتالي فإن \( f(x) \) متصلة لهذه القيم من \( x \).

نختبر الآن النقطة \( x = 5 \). لنعتبر النهايات عندما يقترب \( x \) من \( 5 \) من اليسار (\( x < 5 \)):

\[ \lim_{x\to 5^{-}} f(x) = \lim_{x\to 5^{-}} -(x - 5) = 0 \]

ولنعتبر النهايات عندما يقترب \( x \) من \( 5 \) من اليمين (\( x > 5 \)):

\[ \lim_{x\to 5^{+}} f(x) = \lim_{x\to 5^{+}} (x - 5) = 0 \]

بما أن النهايات من جهة واحدة متساوية، فإن النهاية \( \lim_{x\to 5} f(x) \) موجودة وتساوي 0. إذن،

\( \lim_{x\to 5} f(x) = 0 = f(5) \)
، والدالة \( f \) متصلة عند \( x = 5 \). وبالتضافر مع الفترات أعلاه، فإن \( f \) متصلة لجميع قيم \( x \) في \( \mathbb{R} \).

المزيد من المراجع وروابط