ما الذي يجعل الدالة غير قابلة للإشتقاق عند نقطة ما؟

تكون الدالة غير قابلة للإشتقاق عند نقطة ما إذا كان خط المماس لا يمكن أن يوجد (مثل الزاوية الحادة أو الرأس المدبب)، أو إذا كان خط المماس رأسياً (ميل غير معرف)، أو إذا كانت الدالة غير متصلة عند تلك النقطة (بسبب القفزات، أو الثقوب، أو الخطوط المحاربة الرأسية).

إذا كانت الدالة متصلة عند نقطة ما، فهل هي قابلة للإشتقاق دائماً؟

لا. الاتصال شرط ضروري للقابلية للإشتقاق وليس كافياً. يمكن أن تكون الدوال متصلة في كل مكان ومع ذلك تفشل في أن تكون قابلة للإشتقاق عند نقاط محددة بسبب الزوايا، أو الرؤوس المدببة، أو المماسات الرأسية.

كيف تثبت عدم القابلية للإشتقاق تحليلياً؟

يتم إثبات عدم القابلية للإشتقاق تحليلياً عن طريق تقييم نهاية خارج القسمة الفرقية من اليسار ومن اليمين. إذا لم تتطابق مشتقة اليسار ومشتقة اليمين، أو إذا لم تكن النهاية موجودة، تكون الدالة غير قابلة للإشتقاق.

الدوال غير القابلة للإشتقاق في التفاضل والتكامل

يتم تقديم أسئلة حول القابلية للإشتقاق للدوال مع التركيز على الدوال المتشععة جنباً إلى جنب مع إجاباتها.

المعنى البياني لعدم القابلية للإشتقاق

ما هي الدوال غير القابلة للإشتقاق؟

لتكن \( f \) دالة رسمها البياني هو \( G \). من التعريف، قيمة مشتقة الدالة \( f \) عند قيمة معينة لـ \( x \) تساوي ميل خط المماس للرسم البياني \( G \). يمكننا القول إن \( f \) غير قابلة للإشتقاق لأي قيمة لـ \( x \) لا يمكن عندها وجود مماس، أو حيث يوجد مماس ولكنه رأسي (الخط الرأسي له ميل غير معرف، ومن ثم مشتقة غير معرفة).

تظهر أدناه رسوم بيانية لدوال غير قابلة للإشتقاق عند \( x = 0 \) لأسباب مختلفة:

المثال 1: زاوية حادة (لا يوجد مماس)

الدالة \( f \) أدناه غير قابلة للإشتقاق عند \( x = 0 \) لأنه لا يوجد مماس فريد للرسم البياني عند \( x = 0 \) (حاول رسم مماس عند \( x = 0 \)!)

المثال 2: رأس مدبب / نقطة حادة

الدالة \( g \) أدناه غير قابلة للإشتقاق عند \( x = 0 \) لعدم وجود مماس للرسم البياني عند \( x = 0 \).

المثال 3: انقطاع قفزي

الدالة \( h \) أدناه غير قابلة للإشتقاق عند \( x = 0 \) لوجود قفزة في قيمة الدالة، والدالة غير متصلة عند \( x = 0 \).

المثال 4: خط محارب رأسي

الدالة \( j \) أدناه غير قابلة للإشتقاق عند \( x = 0 \) لأنها تزداد بلا حدود (بلا نهاية) على جانبي \( x = 0 \)، ومن صيغتها فهي غير معرفة وبالتالي غير متصلة عند \( x = 0 \).

المثال 5: مماس رأسي

الدالة \( k \) أدناه غير قابلة للإشتقاق لأن المماس عند \( x = 0 \) رأسي، وبالتالي فإن ميله (قيمة المشتقة عند \( x = 0 \)) غير معرف.

نظرية

نظرية: إذا كانت الدالة \( f \) قابلة للإشتقاق عند \( x = a \)، فهي متصلة عند \( x = a \).

المعاكس الإيجابي للنظرية: إذا كانت الدالة \( f \) غير متصلة عند \( x = a \)، فهي غير قابلة للإشتقاق عند \( x = a \).

أخطاء شائعة يجب تجنبها: إذا كانت \( f \) متصلة عند \( x = a \)، فهذا لا يعني بالضرورة أن \( f \) قابلة للإشتقاق عند \( x = a \).

ملاحظة: على الرغم من أن الدوال \( f \)، و\( g \)، و\( k \) (التي تظهر رسومها البيانية أعلاه) متصلة في كل مكان، إلا أنها غير قابلة للإشتقاق عند \( x = 0 \).

أمثلة مع الحلول

براهين تحليلية لعدم القابلية للإشتقاق

المثال 1: عدم القابلية للإشتقاق لدالة متشععة

المسألة: أثبت تحليلياً أن الدالة \( f \) المعرفة أدناه غير قابلة للإشتقاق عند \( x = 0 \):

\[ f(x) = \begin{cases} x^2 & x > 0 \\ -x & x < 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases} \]

الحل:

إحدى طرق الإجابة على السؤال هي حساب المشتقة عند \( x = 0 \) باستخدام نهاية خارج القسمة الفرقية. بما أن الدالة \( f \) معرفة باستخدام صيغ مختلفة، فنحن بحاجة إلى تقييم المشتقة باستخدام النهايات من اليسار ومن اليمين:

\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]

على يسار \( x = 0 \) (\( x < 0 \))، تُحسب المشتقة على النحو التالي:

\[ f'(0) = \lim_{h\to 0^{\mathbf{-}}} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^-} \frac{-h - 0}{h} = -1 \]

على يمين \( x = 0 \) (\( x > 0 \))، تُحسب المشتقة على النحو التالي:

\[ f'(0) = \lim_{h\to 0^{\mathbf{+}}} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{h^2 - 0}{h} = \lim_{h\to 0^+} h = 0 \]

النهايتان إلى يسار وإلى يمين \( x = 0 \) غير متساويتين (-1 \neq 0)، وبالتالي فإن \( f'(0) \) غير معرفة. ومن ثم، الدالة \( f \) غير قابلة للإشتقاق عند \( x = 0 \).

يظهر الرسم البياني للدالة \( f \) أدناه، حيث يتضح جلياً أنه لا يمكن رسم مماس فريد عند \( x = 0 \):

المعنى البياني لعدم القابلية للإشتقاق

نظرية

أمثلة مع الحلول

المزيد من المراجع وروابط