أسئلة حول الاتصال مع الحلول

مسائل تفصيلية، تفسيرات بيانية، وحلول خطوة بخطوة

تُقدم أسئلة مع الإجابات حول اتصال الدوال مع التركيز على الدوال الكسرية والمتشععة. تتم مناقشة اتصال الدالة ومشتقاتها عند نقطة معينة. كما يتم تضمين المعنى البياني وتفسير الاتصال.

المثال 1: تحديد نقاط عدم الاتصال

عند أي قيم لـ \( x \) تكون كل من الدوال التالية غير متصلة؟

  • أ)
    \( f(x) = \dfrac{1}{x} \)
  • ب)
    \( g(x) = \dfrac{2}{x-2} \)
  • ج)
    \( h(x) = \dfrac{x+1}{x^2-1} \)
  • د)
    \( i(x) = \tan(x) \)
  • هـ)
    \( j(x) = \dfrac{1}{\cos(x)-1} \)
  • و)
    \( k(x) = \dfrac{x+2}{x^2+5} \)
  • ز)
    \( l(x) = \begin{cases} \dfrac{x+4}{x+4} & x \ne -4 \\ 1 & x = -4 \end{cases} \)
حل المثال 1
  • أ) عندما \( x = 0 \)، يكون مقام الدالة \( f(x) \) مساوياً لـ \( 0 \)، لذا فإن \( f(x) \) غير معرفة وليست لها نهاية. وبالتالي، فإن \( f(x) \) غير متصلة عند \( x = 0 \).
  • ب) عندما \( x = 2 \)، يكون مقام الدالة \( g(x) \) مساوياً لـ \( 0 \) وتكون غير معرفة بدون نهاية. الدالة \( g(x) \) غير متصلة عند \( x = 2 \).
  • ج) مقام \( h(x) \) يحلل كـ
    \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \)
    . المقام يساوي صفراً عند \( x = 1 \) و \( x = -1 \)، حيث تكون الدالة غير معرفة وبلا نهايات. الدالة \( h \) غير متصلة عند \( x = 1 \) و \( x = -1 \).
  • د) \( \tan(x) \) غير معرفة لجميع قيم \( x \) بحيث
    \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)
    (حيث \( k \) أي عدد صحيح)، مما يجعلها غير متصلة عند هذه القيم.
  • هـ) مقام \( j(x) \) يساوي صفراً عندما
    \( \cos(x) - 1 = 0 \)
    ، أو
    \( x = 2k\pi \)
    حيث \( k \) عدد صحيح. الدالة غير معرفة وغير متصلة عند هذه النقاط.
  • و) الدالة \( k(x) \) هي نسبة دالتين متصلتين مع مقام
    \( x^2 + 5 \)
    لا يساوي \( 0 \) أبدًا. وهي معرفة لجميع القيم الحقيقية لـ \( x \) وليس لها نقاط عدم اتصال.
  • ز)
    \( l(x) = \dfrac{x + 4}{x + 4} = 1 \)
    عندما \( x \ne -4 \). بما أن
    \( \lim_{x \to -4} l(x) = 1 = l(-4) \)
    ، فإن الدالة \( l(x) \) متصلة لجميع القيم الحقيقية لـ \( x \) وليس لها نقطة عدم اتصال.

المثال 2: إيجاد البارامترات لاتصال دالة متشععة

أوجد \( b \) بحيث تكون الدالة \( f(x) \) المعرفة أدناه متصلة:

\[ f(x) = \begin{cases} 2x^2+b & x \ge -1 \\ -x^3 & x < -1 \end{cases} \]
حل المثال 2

عندما \( x > -1 \)، فإن

\( f(x) = 2x^2 + b \)
هي دالة كثيرة حدود وبالتالي فهي متصلة.

عندما \( x < -1 \)، فإن

\( f(x) = -x^3 \)
هي دالة كثيرة حدود وبالتالي فهي متصلة.

عند \( x = -1 \):

\[ f(-1) = 2(-1)^2 + b = 2 + b \]

نعتبر نهايتي اليسار واليمين:

\[ L_1 = \lim_{x\to -1^{-}} f(x) = -(-1)^3 = 1 \] \[ L_2 = \lim_{x\to -1^+} f(x) = 2(-1)^2 + b = 2 + b \]

لكي تكون الدالة \( f \) متصلة عند \( x = -1 \)، نطلب أن يكون

\( L_2 = L_1 \)
:

\[ 2 + b = 1 \implies b = -1 \]

بالتعويض بـ \( b = -1 \) في الدالة تصبح:

\[ f(x) = \begin{cases} 2x^2-1 & x \ge -1 \\ -x^3 & x < -1 \end{cases} \]

يظهر الرسم البياني لـ \( f \) أدناه، مؤكداً الاتصال عند \( x = -1 \):

continuous function, example 2

المثال 3: اتصال الدالة ومشتقاتها

أوجد \( a \) و \( b \) بحيث تكون كل من الدالة \( g(x) \) المعرفة أدناه ومشتقتها الأولى متصلتين:

\[ g(x) = \begin{cases} ax^2+b & x \ge 2 \\ -2x+2 & x < 2 \end{cases} \]
حل المثال 3

اتصال الدالة \( g \):

  • عندما \( x > 2 \)، فإن
    \( g(x) = ax^2 + b \)
    متصلة.
  • عندما \( x < 2 \)، فإن
    \( g(x) = -2x + 2 \)
    متصلة.

النهايات عند \( x = 2 \):

\[ L_1 = \lim_{x\to 2^+} g(x) = a(2)^2 + b = 4a + b \] \[ L_2 = \lim_{x\to 2^{-}} g(x) = -2(2) + 2 = -2 \]

للاتصال عند \( x = 2 \)، يجب أن يكون

\( L_1 = L_2 \)
:

\[ 4a + b = -2 \]

اتصال المشتقة \( g' \):

  • عندما \( x > 2 \)، فإن
    \( g'(x) = 2ax \)
    متصلة.
  • عندما \( x < 2 \)، فإن
    \( g'(x) = -2 \)
    متصلة.

نهايات المشتقة عند \( x = 2 \):

\[ l_1 = \lim_{x\to 2^+} g'(x) = 2a(2) = 4a \] \[ l_2 = \lim_{x\to 2^{-}} g'(x) = -2 \]

لاتصال \( g' \) عند \( x = 2 \)، يجب أن يكون

\( l_1 = l_2 \)
:

\[ 4a = -2 \implies a = -\frac{1}{2} \]

بالتعويض بـ

\( a = -\frac{1}{2} \)
في
\( 4a + b = -2 \)
:

\[ 4\left(-\frac{1}{2}\right) + b = -2 \implies -2 + b = -2 \implies b = 0 \]

إذن، تصبح الدالة:

\[ g(x) = \begin{cases} -\dfrac{1}{2}x^2 & x \ge 2 \\ -2x+2 & x < 2 \end{cases} \]

تظهر الدالة \( g(x) \) في الرسم البياني أدناه، مبينة أن كلاً من الدالة ومشتقاتها (الميل) متصلتان عند \( x = 2 \):

function and its derivative continuity, example 3

المزيد من المراجع وروابط