تطبيقات المعادلات التفاضلية

نماذج من الواقع، اشتقاقات خطوة بخطوة، وأمثلة محلولة

نقدم أمثلة حيث تُطبق المعادلات التفاضلية على نطاق واسع لنمذجة الظواهر الطبيعية، النظم الهندسية، والعديد من المواقف الأخرى.

التطبيق 1: النمو الأسي - نمو السكان

لتكن \( P(t) \) كمية تزيد مع الزمن \( t \) ومعدل الزيادة يتناسب طردياً مع نفس الكمية \( P \) كالتالي:

\[ \frac{dP}{dt} = kP \]

حيث \( \frac{dP}{dt} \) هي المشتقة الأولى لـ \( P \)، \( k > 0 \)، و \( t \) هو الزمن.

حل المعادلة التفاضلية من الرتبة الأولى السابقة يُعطى بالشكل:

\[ P(t) = A e^{kt} \]

حيث \( A \) ثابت لا يساوي 0.

إذا كانت \( P = P_0 \) عندما \( t = 0 \)، إذن:

\[ P_0 = A e^0 \]

مما يعطي \( A = P_0 \). الشكل النهائي للحل يُعطى بالشكل:

صيغة نموذج النمو: \[ P(t) = P_0 e^{kt} \]

بافتراض أن \( P_0 \) موجبة وبما أن \( k \) موجب، فإن \( P(t) \) دالة أسية متزايدة. تُسمى المعادلة \( \frac{dP}{dt} = kP \) أيضاً نموذج النمو الأسي.

التطبيق 2: الاضمحلال الأسي - المواد المشعة

لتكن \( M(t) \) كمية منتج تتناقص مع الزمن \( t \) ومعدل التناقص يتناسب طردياً مع الكمية \( M \) كالتالي:

\[ \frac{dM}{dt} = -kM \]

حيث \( \frac{dM}{dt} \) هي المشتقة الأولى لـ \( M \)، \( k > 0 \)، و \( t \) هو الزمن.

حل المعادلة التفاضلية من الرتبة الأولى السابقة يحصل عليه كالتالي:

\[ M(t) = A e^{-kt} \]

حيث \( A \) ثابت لا يساوي صفراً.

إذا افترضنا أن \( M = M_0 \) عندما \( t = 0 \)، إذن:

\[ M_0 = A e^0 \]

مما يعطي \( A = M_0 \). يمكن كتابة الحل كالتالي:

صيغة نموذج الاضمحلال: \[ M(t) = M_0 e^{-kt} \]

بافتراض أن \( M_0 \) موجبة وبما أن \( k \) موجب، فإن \( M(t) \) دالة أسية متناقصة. تُسمى المعادلة \( \frac{dM}{dt} = -kM \) أيضاً نموذج الاضمحلال الأسي.

التطبيق 3: الأجسام الساقطة

يُسقط جسم من ارتفاع معين عند الزمن \( t = 0 \). إذا كانت \( h(t) \) هي ارتفاع الجسم عند الزمن \( t \)، و \( a(t) \) التسارع، و \( v(t) \) السرعة، فإن العلاقات بين \( a \)، و \( v \)، و \( h \) هي كالتالي:

\[ a(t) = \frac{dv}{dt}, \quad v(t) = \frac{dh}{dt} \]

بالنسبة لجسم ساقط، يكون \( a(t) \) ثابتاً ويساوي \( g = -9.8 \, \text{m/s}^2 \).

بدمج المعادلات التفاضلية السابقة، يمكننا استنتاج المعادلة التالية بسهولة:

\[ \frac{d^2h}{dt^2} = g \]

بكامل طرفي المعادلة السابقة نحصل على:

\[ \frac{dh}{dt} = gt + v_0 \]

نكامل مرة أخرى لنحصل على:

صيغة الجسم الساقط: \[ h(t) = \frac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0 \]

تصف المعادلة السابقة ارتفاع الجسم الساقط من ارتفاع ابتدائي \( h_0 \) بسرعة ابتدائية \( v_0 \)، كدالة في الزمن.

التطبيق 4: قانون نيوتن للتبريد

هو نموذج يصف رياضياً التغير في درجة حرارة جسم ما في بيئة محيطة معينة. ينص القانون على أن معدل التغير (بالزمن) لدرجة الحرارة يتناسب طردياً مع الفرق بين درجة حرارة الجسم \( T \) ودرجة حرارة البيئة المحيطة بالجسم \( T_e \):

\[ \frac{dT}{dt} = -k(T - T_e) \]

لتكن \( x = T - T_e \) بحيث يكون \( \frac{dx}{dt} = \frac{dT}{dt} \).

باستخدام تغيير المتغير السابق، تصبح المعادلة التفاضلية:

\[ \frac{dx}{dt} = -kx \]

حل المعادلة التفاضلية السابقة يُعطى بالشكل:

\[ x = A e^{-kt} \]

نعوض عن \( x \) بـ \( T - T_e \):

\[ T - T_e = A e^{-kt} \]

نفترض أنه عند الزمن \( t = 0 \) تكون درجة الحرارة \( T = T_0 \):

\[ T_0 - T_e = A e^0 \]

مما يعطي \( A = T_0 - T_e \).

التعبير النهائي لـ \( T(t) \) يُعطى بالشكل:

صيغة قانون نيوتن للتبريد: \[ T(t) = T_e + (T_0 - T_e)e^{-kt} \]

يوضح هذا التعبير الأخير كيف تتغير درجة حرارة الجسم \( T \) مع الزمن.

التطبيق 5: دائرة RL الكهربائية

rl circuit for application 5

لننظر في دائرة RL (مقاومة R وملف L) الموضحة أعلاه. عند \( t = 0 \)، يُغلق المفتاح ويمر التيار عبر الدائرة. تنص قوانين الكهرباء على أن الجهد عبر مقاومة مقاومتها \( R \) يساوي \( R i \)، والجهد عبر ملف \( L \) يُعطى بـ \( L \frac{di}{dt} \) (حيث \( i \) هو التيار). يعطي قانون آخر معادلة تربط بين جميع الجهود في الدائرة كالتالي:

\[ L \frac{di}{dt} + Ri = E, \quad \text{حيث } E \text{ جهد ثابت} \]

لنحل المعادلة التفاضلية السابقة، والتي يمكن كتابتها بالشكل:

\[ L \frac{\frac{di}{dt}}{E - Ri} = 1 \]

يمكن كتابة هذا بالشكل:

\[ -\frac{L}{R} \frac{-Rdi}{E - Ri} = dt \]

نكامل الطرفين:

\[ -\frac{L}{R} \ln(E - Ri) = t + c, \quad c \text{ ثابت التكامل} \]

نوجد الثابت \( c \) بوضع \( i = 0 \) عند \( t = 0 \) (عند إغلاق المفتاح)، مما يعطي:

\[ c = -\frac{L}{R} \ln(E) \]

نعوض عن \( c \) في الحل:

\[ -\frac{L}{R} \ln(E - Ri) = t - \frac{L}{R} \ln(E) \]

يمكن كتابة هذا بالشكل:

\[ \frac{L}{R} \ln\left(\frac{E}{E - Ri}\right) = t \]

نحولها إلى الشكل الأسي:

\[ \frac{E}{E - Ri} = e^{t(R/L)} \]

نحل المعادلة بالنسبة لـ \( i \) لنحصل على:

صيغة تيار دائرة RL: \[ i = \frac{E}{R} \left(1 - e^{-\frac{Rt}{L}}\right) \]

النموذج الأولي للدائرة هو معادلة تفاضلية والتي، عند حلها، تعطي تعبيراً للتيار في الدائرة كدالة في الزمن.

المراجع والروابط الإضافية