مقدمة في المعادلات التفاضلية

التعريف، الرتبة، التحقق من الحلول، والأمثلة المحلوة

المعادلة التفاضلية هي معادلة تتضمن دالة مجهولة واحداً أو أكثر من مشتقاتها. إذا كانت \( y = f(x) \)، فقد تظهر تعبيرات مثل \( y' \) أو \( y'' \) أو مشتقات أعلى في المعادلة.

رتبة المعادلة التفاضلية

تُعرف رتبة المعادلة التفاضلية بأنها رتبة أعلى مشتقة تظهر في المعادلة.

أمثلة: تحديد الرتبة
  1. \( y' = 3x \)
    أعلى مشتقة هي \( y' \). لذلك، هذه معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى.
  2. \( y'' + y' + y = 3x \)
    أعلى مشتقة هي \( y'' \). لذلك، هذه معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية.
  3. \( -2y''' + y'' + y^4 = 3x \)
    أعلى مشتقة هي \( y''' \). لذلك، هذه معادلة تفاضلية من الرتبة الثالثة.

التحقق من الحل

تسمى الدالة \( y = f(x) \) حلاً للمعادلة التفاضلية إذا تساوى الطرفان بعد تعويض \( y \) ومشتقاتها في المعادلة.

مثال: التحقق من الحل

تحقق من أن \( y = Ce^{4x} + e^{3x} \) هو حل للمعادلة التفاضلية:

\[ y' - 4y = -e^{3x} \]

احسب المشتقة أولاً:

\[ y' = 4Ce^{4x} + 3e^{3x} \]

عوض بـ \( y \) و \( y' \) في الطرف الأيسر:

\[ \begin{aligned} y' - 4y &= 4Ce^{4x} + 3e^{3x} - 4(Ce^{4x} + e^{3x}) \\ &= 4Ce^{4x} + 3e^{3x} - 4Ce^{4x} - 4e^{3x} \\ &= e^{3x}(3 - 4) \\ &= -e^{3x} \end{aligned} \]

هذا يطابق الطرف الأيمن من المعادلة التفاضلية. لذلك، \( y = Ce^{4x} + e^{3x} \) هو بالفعل حل.

حل معادلة تفاضلية بسيطة

تتضمن معظم تطبيقات المعادلات التفاضلية إيجاد الدالة المجهولة.

مثال: إيجاد الحل العام

حل:

\[ y' = 2x \]

تكامل الطرفين:

\[ \int y' \, dx = \int 2x \, dx \]

يعطي هذا:

\[ y + C_1 = x^2 + C_2 \]

تجميع الثوابت:

\[ y = x^2 + C \]

حيث \( C = C_2 - C_1 \) ثابت اختياري.

المراجع