حاصل قسمة الفرق

التعريف، التفسير الهندسي، أمثلة محلولة خطوة بخطوة، وآلة حاسبة

ما هو حاصل قسمة الفرق في حساب التفاضل والتكامل؟
نبدأ بالتعريف ثم نحسب حاصل قسمة الفرق لدوال مختلفة كأمثلة مع شرح تفصيلي.
لاحظ أن حاسة حاسبة حاصل قسمة الفرق متضمنة ويمكن استخدامها للتحقق من النتائج وتوليد مزيد من التدريبات.

تعريف حاصل قسمة الفرق

لتكن \( f \) دالة بيانها موضحة أدناه.

graphs of function f with secant line

\( A \) و \( B \) هما نقطتان على بيان \( f \). يُسمى الخط المار بالنقطتين \( A(x, f(x)) \) و \( B(x+h, f(x+h)) \) خط القاطع. ويمكن حساب ميل \( m \) خط القاطع على النحو التالي:

\[ m = \dfrac{f(x + h) - f(x)}{(x + h) - x} \]

بسيط المقام للحصول على:

صيغة حاصل قسمة الفرق:
\[ m = \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \]

يُسمى الميل \( m \) حاصل قسمة الفرق. وهو مفهوم مهم جداً في حساب التفاضل والتكامل حيث يتم استخدامه لتعريف مشتقة الدالة \( f \)، والتي تحدد بدورها التغير المحلي للدالة في الرياضيات.

أمثلة مع الحلول

في الأمثلة أدناه، نحسب ونبسط حواصل قسمة الفرق لدوال مختلفة.

المثال 1

أوجد حاصل قسمة الفرق للدالة \( f \) المعطاة بـ:

\[ f(x) = 2x + 5 \]
الحل للمثال 1

نحتاج أولاً إلى حساب \( f(x + h) \):

\[ f(x + h) = 2(x + h) + 5 \]

نستبدل الآن \( f(x + h) \) و \( f(x) \) في تعريف حاصل قسمة الفرق:

\[ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{2(x + h) + 5 - (2x + 5)}{h} \]

نبسط التعبير أعلاه:

\[ = \dfrac{2h}{h} = 2 \]

الجواب هو 2، وهو أيضاً ميل الخط المعرف بواسطة الدالة \( f \). لماذا؟ لأن الدوال الخطية لها معدل تغير ثابت يساوي ميلها!

المثال 2

أوجد حاصل قسمة الفرق للدالة التالية:

\[ f(x) = 2x^2 + x - 2 \]
الحل للمثال 2

نحسب أولاً \( f(x + h) \):

\[ f(x + h) = 2(x + h)^2 + (x + h) - 2 \]

نستبدل الآن \( f(x + h) \) و \( f(x) \) في حاصل قسمة الفرق:

\[ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{2(x + h)^2 + (x + h) - 2 - (2x^2 + x - 2)}{h} \]

نفك التعابير في البسط ونجمع الحدود المتشابهة:

\[ = \dfrac{2(x^2 + 2xh + h^2) + x + h - 2 - 2x^2 - x + 2}{h} \] \[ = \dfrac{2x^2 + 4xh + 2h^2 + x + h - 2 - 2x^2 - x + 2}{h} \] \[ = \dfrac{4xh + 2h^2 + h}{h} = 4x + 2h + 1 \]

المثال 3

أوجد حاصل قسمة الفرق للدالة \( f \) المعطاة بـ:

\[ f(x) = \sin x \]

واكتب النتيجة على شكل حاصل ضرب.

الحل للمثال 3

نحسب أولاً \( f(x + h) \):

\[ f(x + h) = \sin(x + h) \]

نستبدل الآن \( f(x + h) \) و \( f(x) \) في حاصل قسمة الفرق:

\[ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{\sin(x + h) - \sin x}{h} \]

نستخدم المتطابقة المثلثية التي تحول الفرق \( \sin(x + h) - \sin x \) إلى حاصل ضرب:

\[ \sin(x + h) - \sin x = 2 \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right) \]

نستبدل التعبير أعلاه في حاصل قسمة الفرق لنحصل على:

\[ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{2 \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h} = \dfrac{\cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \]

المزيد من المراجع والروابط