تفاضل الدوال اللوغاريتمية

الصيغ، القواعد، أمثلة محلولة خطوة بخطوة مع الحلول، التمارين، والمراجع

تم تقديم أمثلة على مشتقات الدوال اللوغاريتمية في حساب التفاضل والتكامل. تم فحص عدة أمثلة مع حلول تفصيلية تتضمن الضرب والجمع وقسمة الدوال اللوغاريتمية.

المشتقة الأولى لدالة لوغاريتمية لأي أساس

المشتقة الأولى لـ \( f(x) = \log_b x \) تُعطى بـ:

صيغة مشتقة اللوغاريتم العامة:
\[ f'(x) = \dfrac{1}{x \ln b} \]

ملاحظة: إذا كانت \( f(x) = \ln x \)، إذن \( f'(x) = \dfrac{1}{x} \).

أمثلة مع الحلول

المثال 1

أوجد مشتقة \( f(x) = \log_3 x \)

الحل للمثال 1

طبق الصيغة أعلاه للحصول على:

\[ f'(x) = \dfrac{1}{x \ln 3} \]

المثال 2

أوجد مشتقة \( f(x) = \ln x + 6x^2 \)

الحل للمثال 2

ليكن \( g(x) = \ln x \) و \( h(x) = 6x^2 \). الدالة \( f \) هي مجموع الدالتين \( g \) و \( h \): \( f(x) = g(x) + h(x) \). استخدم قاعدة الجمع، \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \)، لإيجاد مشتقة الدالة \( f \):

\[ f'(x) = \dfrac{1}{x} + 12x \]

المثال 3

أوجد مشتقة \( f(x) = \dfrac{\log_3 x}{1 - x} \)

الحل للمثال 3

ليكن \( g(x) = \log_3 x \) و \( h(x) = 1 - x \). الدالة \( f \) هي قسمة الدالتين \( g \) و \( h \): \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). ومن ثم نستخدم قاعدة القسمة:

\[ f'(x) = \dfrac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} \]

نوجد المشتقات الفردية:

\[ g'(x) = \dfrac{1}{x \ln 3} \] \[ h'(x) = -1 \]

عوض في صيغة قاعدة القسمة:

\[ f'(x) = \dfrac{(1 - x)\left(\dfrac{1}{x \ln 3}\right) - (\log_3 x)(-1)}{(1 - x)^2} \]

المثال 4

أوجد مشتقة \( f(x) = \ln(-4x + 1) \)

الحل للمثال 4

ليكن \( u = -4x + 1 \) و \( y = \ln u \). استخدم قاعدة السلسلة لإيجاد مشتقة الدالة \( f \):

\[ f'(x) = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \]

بما أن \( \dfrac{dy}{du} = \dfrac{1}{u} \) و \( \dfrac{du}{dx} = -4 \):

\[ f'(x) = \dfrac{1}{u}(-4) = \dfrac{-4}{u} \]

عوض عن \( u = -4x + 1 \) مرة أخرى:

\[ f'(x) = \dfrac{-4}{-4x + 1} \]

التمارين

أوجد مشتقة كل دالة:

  1. \( f(x) = \ln(x^2) \)
  2. \( g(x) = \ln x - x^7 \)
  3. \( h(x) = \dfrac{\ln x}{2x - 3} \)
  4. \( j(x) = \ln(x + 3) \ln(x - 1) \)
حلول التمارين أعلاه
  1. \( f'(x) = \dfrac{2}{x} \)
  2. \( g'(x) = \dfrac{1}{x} - 7x^6 \)
  3. \( h'(x) = \dfrac{2x - 3 - 2x \ln x}{x(2x - 3)^2} \)
  4. \( j'(x) = \dfrac{\ln(x + 3)}{x - 1} + \dfrac{\ln(x - 1)}{x + 3} \)

المزيد من المراجع والروابط