قواعد تفاضل الدوال في حساب التفاضل والتكامل

الصيغ الأساسية، أمثلة محلولة خطوة بخطوة مع الحلول، والمراجع

تم تقديم القواعد الأساسية لـ التفاضل للدوال في حساب التفاضل والتكامل إلى جانب عدة أمثلة.

1. مشتقة الدالة الثابتة

مشتقة \( f(x) = c \)، حيث \( c \) عدد ثابت، تُعطى بـ:

قاعدة الثابت:
\[ f'(x) = 0 \]
مثال والحل

بالمعطى \( f(x) = -10 \)، إذن:

\[ f'(x) = 0 \]

2. مشتقة دالة الأس (قاعدة القوة)

مشتقة \( f(x) = x^r \)، حيث \( r \) عدد حقيقي ثابت، تُعطى بـ:

قاعدة القوة:
\[ f'(x) = r x^{r-1} \]
مثال والحل

بالمعطى \( f(x) = x^{-2} \)، إذن:

\[ f'(x) = -2x^{-2-1} = \dfrac{-2}{x^3} \]

3. مشتقة دالة مضروبة في ثابت

مشتقة \( f(x) = c \cdot g(x) \)، حيث \( c \) عدد ثابت، تُعطى بـ:

قاعدة مضاعفات الثابت:
\[ f'(x) = c \cdot g'(x) \]
مثال والحل

بالمعطى \( f(x) = 3x^3 \)، ليكن \( c = 3 \) و \( g(x) = x^3 \)، إذن \( f(x) = c \cdot g(x) \):

\[ f'(x) = c \cdot g'(x) = 3(3x^2) = 9x^2 \]

4. مشتقة مجموع دالتين (قاعدة المجموع)

مشتقة \( f(x) = g(x) + h(x) \) تُعطى بـ:

قاعدة المجموع:
\[ f'(x) = g'(x) + h'(x) \]
مثال والحل

بالمعطى \( f(x) = x^2 + 4 \)، ليكن \( g(x) = x^2 \) و \( h(x) = 4 \):

\[ f'(x) = g'(x) + h'(x) = 2x + 0 = 2x \]

5. مشتقة الفرق بين دالتين (قاعدة الفرق)

مشتقة \( f(x) = g(x) - h(x) \) تُعطى بـ:

قاعدة الفرق:
\[ f'(x) = g'(x) - h'(x) \]
مثال والحل

بالمعطى \( f(x) = x^3 - x^{-2} \)، ليكن \( g(x) = x^3 \) و \( h(x) = x^{-2} \):

\[ f'(x) = g'(x) - h'(x) = 3x^2 - (-2x^{-3}) = 3x^2 + 2x^{-3} \]

6. مشتقة حاصل ضرب دالتين (قاعدة الضرب)

مشتقة \( f(x) = g(x) \cdot h(x) \) تُعطى بـ:

قاعدة الضرب:
\[ f'(x) = g(x) \cdot h'(x) + h(x) \cdot g'(x) \]
مثال والحل

بالمعطى \( f(x) = (x^2 - 2x)(x - 2) \)، ليكن \( g(x) = x^2 - 2x \) و \( h(x) = x - 2 \):

\[ f'(x) = g(x)h'(x) + h(x)g'(x) = (x^2 - 2x)(1) + (x - 2)(2x - 2) \]

فك وتجميع الحدود المتشابهة:

\[ f'(x) = x^2 - 2x + 2x^2 - 6x + 4 = 3x^2 - 8x + 4 \]

7. مشتقة حاصل قسمة دالتين (قاعدة القسمة)

مشتقة \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \) تُعطى بـ:

قاعدة القسمة:
\[ f'(x) = \dfrac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2} \]
مثال والحل

بالمعطى \( f(x) = \dfrac{x - 2}{x + 1} \)، ليكن \( g(x) = x - 2 \) و \( h(x) = x + 1 \). هنا \( g'(x) = 1 \) و \( h'(x) = 1 \):

\[ f'(x) = \dfrac{(x + 1)(1) - (x - 2)(1)}{(x + 1)^2} \]

التجميع والتبسيط:

\[ f'(x) = \dfrac{x + 1 - x + 2}{(x + 1)^2} = \dfrac{3}{(x + 1)^2} \]

المزيد من المراجع والروابط