إيجاد مساحة الدائرة باستخدام التكاملات في حساب التفاضل والتكامل

النظرية، إعداد معادلة الدائرة، برهان التكامل خطوة بخطوة، والمراجع

أوجد مساحة دائرة نصف قطرها \( a \) باستخدام التكاملات في حساب التفاضل والتكامل.

حل المسألة

circle used in the calculation of integral
الشكل 1. دائرة نصف قطرها \( a \) مركزها نقطة الأصل.

معادلة الدائرة الموضحة أعلاه تُعطى بـ:

\[ x^2 + y^2 = a^2 \]

الدائرة متماثلة بالنسبة لمحوري السينات والصادات. لذلك، يمكننا إيجاد مساحة ربع الدائرة وضربها في 4 للحصول على المساحة الكلية للدائرة.

حل معادلة الدائرة بالنسبة لـ \( y \):

\[ y = \pm \sqrt{a^2 - x^2} \]

معادلة نصف الدائرة العلوي (\( y \ge 0 \)) تُعطى بـ:

\[ y = \sqrt{a^2 - x^2} \]

أخرج \( a^2 \) كعامل مشترك داخل الجذر:

\[ y = \sqrt{a^2 \left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right)} \]

أخرج \( a^2 \) من تحت الجذر:

\[ y = a \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \]

نستخدم التكاملات المحددة لإيجاد مساحة الربع العلوي الأيمن من الدائرة:

quarter circle in the calculation of integral
الشكل 2. الربع العلوي الأيمن من الدائرة.
\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of circle} = \int_0^a a \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \, dx \]

لنستخدم التعويض المثلثي بوضع \( \sin t = \frac{x}{a} \)، مما يعطي \( x = a \sin t \) و \( dx = a \cos t \, dt \). يصبح التكامل:

\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of circle} = \int_0^{\pi/2} a^2 \sqrt{1 - \sin^2 t} \cos t \, dt \]

نستخدم الآن المطابقة المثلثية:

\[ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \]

والتي تعطي \( \sqrt{1 - \sin^2 t} = \cos t \) (بما أن \( t \) يتراوح من \( 0 \) إلى \( \pi/2 \)). ومن ثم:

\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of circle} = \int_0^{\pi/2} a^2 \cos^2 t \, dt \]

استخدم مطابقة تخفيض الأس \( \cos^2 t = \dfrac{\cos(2t) + 1}{2} \) لخطية التكامل:

\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of circle} = \int_0^{\pi/2} a^2 \left( \dfrac{\cos(2t) + 1}{2} \right) dt \]

احسب التكامل:

\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of circle} = \dfrac{1}{2} a^2 \left[ \dfrac{1}{2} \sin(2t) + t \right]_0^{\pi/2} \]

بسط:

\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of circle} = \dfrac{1}{4} \pi a^2 \]

المساحة الكلية للدائرة يتم الحصول عليها بضرب مساحة ربع الدائرة في 4:

صيغة مساحة الدائرة:
\[ \text{Area of circle} = 4 \times \left(\dfrac{1}{4} \pi a^2\right) = \pi a^2 \]

المراجع