إيجاد مساحة القطع الناقص باستخدام حساب التفاضل والتكامل

النظرية، إعداد معادلة القطع الناقص، برهان التكامل خطوة بخطوة، والمراجع

أوجد مساحة القطع الناقص باستخدام التكاملات و حساب التفاضل والتكامل.

حل المسألة

ellipse used in problem
الشكل 1. قطع ناقص بنصفي محورين \( a \) و \( b \) مركزه نقطة الأصل.

معادلة القطع الناقص الموضحة أعلاه يمكن كتابتها بالشكل:

\[ \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \]

بما أن القطع الناقص متماثل بالنسبة لمحوري السينات (\( x \)) والصادات (\( y \))، يمكننا إيجاد مساحة ربع واحد وضربه في 4 من أجل الحصول على المساحة الكلية.

حل المعادلة أعلاه بالنسبة لـ \( y \):

\[ y = \pm b \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a^2}} \]

الجزء العلوي من القطع الناقص (\( y \) موجبة) يُعطى بـ:

\[ y = b \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a^2}} \]

نستخدم الآن التكاملات المحددة لإيجاد مساحة الربع العلوي الأيمن من القطع الناقص:

quarter ellipse used in problem
الشكل 2. الربع العلوي الأيمن من القطع الناقص.
\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of ellipse} = \displaystyle \int_{0}^{a} b \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a^2}} \, dx \]

نقوم الآن بإجراء التعويض المثلثي \( \sin t = \dfrac{x}{a} \)، مما يعطي \( x = a \sin t \) و \( dx = a \cos t \, dt \). يصبح التكامل:

\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of ellipse} = \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} a b \left(\sqrt{1 - \sin^2 t}\right) \cos t \, dt \]

بما أن \( \sqrt{1 - \sin^2 t} = \cos t \) لـ \( t \) المتراوحة من \( 0 \) إلى \( \dfrac{\pi}{2} \)، فلدينا:

\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of ellipse} = \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} a b \cos^2 t \, dt \]

استخدم مطابقة تخفيض الأس \( \cos^2 t = \dfrac{\cos 2t + 1}{2} \) لخطية التكامل:

\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of ellipse} = \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} a b \left( \dfrac{\cos 2t + 1}{2} \right) dt \]

احسب التكامل:

\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of ellipse} = \dfrac{1}{2} ab \left[ \dfrac{1}{2} \sin 2t + t \right]_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} = \dfrac{1}{4} \pi ab \]

احصل على المساحة الكلية للقطع الناقص بالضرب في 4:

صيغة مساحة القطع الناقص:
\[ \text{Area of ellipse} = 4 \times \dfrac{1}{4} \pi ab = \pi ab \]

المراجع