تقييم تكاملات الدوال

نستخدم أولاً المتطابقة المثلثية \( 2 \sin x \cos x = \sin(2x) \) لإعادة كتابة التكامل:

نستخدم التكامل بالتعويض: ليكن \( u = 2x \)، مما يؤدي إلى \( \dfrac{du}{dx} = 2 \) أو \( dx = du / 2 \):

عوض مرة أخرى بـ \( u = 2x \):

تحقق: اشتقاق \( - (3/2) \cos(2x) + c \) يعطي \( 6 \sin x \cos x \)، وهي دالة التكامل الأصلية.

استخدم التكامل بالتعويض: ليكن \( u = x + 1 \) مما يعطي \( x = u - 1 \) و \( du = dx \).

استخدم قاعدة القوى للتكامل (\( \int x^n dx = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c \)):

عوض مرة أخرى بـ \( u = x + 1 \):

استخدم المتطابقة المثلثية \( \cos^2 x = \dfrac{1 + \cos(2x)}{2} \):

ليكن \( u = 2x \) بحيث يكون \( dx = du / 2 \):

عوض مرة أخرى بـ \( u = 2x \):

ليكن \( u = x^4 \)، إذن \( (1 / 4) du = x^3 dx \):

عوض مرة أخرى بـ \( u = x^4 \):

استخدم المتطابقات \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \) و \( 1 - \cos^2(x) = \sin^2(x) \):

استخدم الصيغة \( \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \; dx = \ln|f(x)| + c \):

فك القوس \( (x + \sin x)^2 = x^2 + \sin^2 x + 2x \sin x \) وطبق قاعدة المجموع:

\( \int x^2 \; dx = (1/3) x^3 + c \)

استخدم \( \sin^2 x = (1 - \cos(2x)) / 2 \):
\( \int \sin^2 x \; dx = (1/2) x - (1/4) \sin(2x) + c \)

بالنسبة لـ \( \int 2x \sin x \; dx \)، استخدم التكامل بالأجزاء (\( v = x, u' = \sin x \)):

اجمع كل ذلك:

استخدم \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \). ليكن \( u = \cos x \)، إذن \( du = - \sin x \; dx \):

حلل \( u^2 + 2u - 3 = (u+3)(u-1) \) واستخدم تفكيك الكسور الجزئية:

كامل وعوض مرة أخرى بـ \( u = \cos x \):

ليكن \( u = \sqrt{x + 2} \) مما يعطي \( x = u^2 - 2 \) و \( dx = 2u \; du \).

حلل \( u^2 + u - 2 = (u+2)(u-1) \) واستخدم الكسور الجزئية:

عوض بـ \( u = \sqrt{x + 2} \):

استخدم المتطابقة \( \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \):

استخدم الصيغة \( \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \; dx = \ln|f(x)| + c \):

أكمل المربع في المقام: \( x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 \)

ليكن \( u = x + 1 \) و \( dx = du \):

عوض مرة أخرى بـ \( u = x + 1 \):

أكمل المربع في المقام: \( x^2 + x + 1 = (x + 1/2)^2 + 3/4 \)

ليكن \( u = x + 1/2 \)، ثم أخرج \( 3/4 \) كعامل مشترك:

عوض بـ \( w = \dfrac{2}{\sqrt{3}} u \)، مما ينتج \( du = \dfrac{\sqrt{3}}{2} dw \):

عوض مرة أخرى بـ \( w = \dfrac{2}{\sqrt{3}} (x + 1/2) \):

اقسم البسط على المقام نظراً لأن الدرجة أكبر:

يمكن كتابة \( \dfrac{4x + 2}{x^2 + x + 1} \) على صورة \( 2 \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1} \).

بما أن \( 2x + 1 \) هي مشتقة \( x^2 + x + 1 \)، نستخدم قاعدة اللوغاريتم:

استخدم نظرية ذات الحدين لفك تعبير الدالة:

استخدم تكامل دالة القوة للحصول على الإجابة النهائية:

استخدم المتطابقة \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \) لإعادة كتابة التكامل:

استخدم الصيغة \( \int \sec^2 x dx = \tan(x) + c \):

ليكن \( u = 4x^5 - 2 \) مما يعطي \( du = 20x^4 dx \):

عوض مرة أخرى بـ \( u = 4x^5 - 2 \):

استخدم التكامل بالأجزاء: ليكن \( w' = x^2 \) (\( w = (1/3) x^3 \)) و \( v = \arcsin(x) \) (\( v' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)).

حل التكامل الأيمن بالتعويض \( u = \sqrt{1-x^2} \) للحصول على:

استخدم التكامل بالأجزاء. ليكن \( w' = \sqrt{x} \) (\( w = (2/3)x^{3/2} \)) و \( v = \ln x \) (\( v' = 1/x \)):

ليكن \( u = \sqrt{x+1} \) مما يجعل \( dx = 2u \; du \) و \( x = u^2 - 1 \):

اقسم البسط وأعد الكتابة باستخدام الكسور الجزئية:

عوض مرة أخرى بـ \( u = \sqrt{x+1} \):

ليكن \( u = \sqrt{x} \)، و \( dx = 2u \; du \):

طبق التكامل بالأجزاء على \( \int u \sin u \; du \):

عوض مرة أخرى بـ \( u = \sqrt{x} \):

ليكن \( u = e^x \)، و \( dx = \dfrac{1}{u} du \):

استخدم التكامل الشائع \( \int \dfrac{1}{u^2+1}du = \arctan(u) \):

استخدم صيغة تغيير الأساس \( \log_5(x) = \dfrac{\ln x}{\ln 5} \):

طبق التكامل بالأجزاء على \( \int \ln x \, dx \) (\( w' = 1, v = \ln x \)):

استخدم التعويض المثلثي: ليكن \( \dfrac{x}{4} = \sin t \) مما يعطي \( x = 4 \sin t \) و \( dx = 4 \cos t \, dt \):

استخدم \( \sin^2 t = (1/2)(1 - \cos(2t)) \):

عوض بـ \( t = \arcsin(x/4) \) وبسط: