مثال 1
احسب التكامل
\[ \displaystyle \int 6 \; \cos x \; \sin x \; dx \]
حل إلى مثال 1
نستخدم أولاً الهوية المثلثية \(\sin (2 x) = 2 \sin x \cos x \) لإعادة كتابة التكامل على النحو التالي
\[ \displaystyle \int 6 \; \cos x \; \sin x \; dx = 3 \; \int \sin (2x) \; dx \]
استخدم التكامل بالتعويض :
لنفرض \(u = 2 x \) الذي يؤدي إلى \(du / dx = 2 \) أو \(du = 2 dx \) أو \(dx = du / 2 \) ، واستبدل في التكامل أعلاه للحصول على
\( \displaystyle = 3 \int (1/2) \sin(u) du \)
نستخدم الآن الصيغ المتكاملة للحصول على دالة الجيب
\( = - (3/2) \cos u + c \)
استبدل بالخلف \( u \) بـ \( 2 x \) في النتيجة أعلاه للحصول على النتيجة النهائية
\[ \displaystyle \int 6 \; \cos x \; \sin x \; dx = - (3/2) \cos (2 x) + c \]
كتمرين ، اشتق \(- (3/2) \cos 2 x + c \) للحصول على \(6 \sin x \cos x \) وهو التكامل في التكامل المحدد. هذه طريقة للتحقق من إجابة الحسابات المتكاملة.
مثال 2
احسب التكامل
\[ \displaystyle\int x \; \sqrt{x+1} dx \]
حل إلى مثال 2:
استخدم التكامل بالتعويض : دع \(u = x + 1 \) الذي يعطي \(x = u - 1 \).
\( \displaystyle\int x \sqrt{x+1} \; dx = \int (u-1) \cdot u^{1/2} \; dx \)
ما سبق يؤدي إلى \(\dfrac {du} {dx} = 1 \) و \(du = dx \) والتكامل المحدد يساوي
\( = \displaystyle\int (u^{3/2}-u^{1/2}) \; du \)
نستخدم الآن خاصية تكامل مجموع الدوال وصيغة تكامل دالة الطاقة: \(\displaystyle \int x ^ n dx = \left(\dfrac {1} {n + 1} \right) \; x ^ {n + 1} + c \) للحصول عليها
\( \displaystyle = (2 / 5) u^{5/2} - (2 / 3) u^{3/2} + c \)
نستبدل الآن \(u \) بـ \(x + 1 \) في النتيجة أعلاه للحصول على النتيجة النهائية على النحو التالي
\[ \displaystyle\int x \sqrt{x+1} \; dx = (2 / 5) (x + 1)^{5/2} - (2 / 3) (x + 1)^{3/2} + c \]
للتحقق من الإجابة النهائية ، اشتق \((2/5) (x + 1)^{5/2} - (2/3)(x + 1)^{3/2} + c \) للحصول على \( x \sqrt {x + 1} \).
مثال 3
احسب التكامل
\[ \displaystyle \int \cos^2 x \; dx \]
حل إلى مثال 3
استخدم المتطابق المثلثي \( \cos^2 x = \dfrac{1+\cos(2x)}{2} \) لإعادة صياغة التكامل المعطى على النحو التالي
\( \displaystyle\int \cos^2 x \; dx = \int \dfrac{1+cos(2x)}{2} \; dx \)
استخدم التكامل بالتعويض : \(u = 2x \) بحيث \(du = 2 dx \) و \(dx = du / 2 \) ، ويمكن كتابة التكامل المعطى كـ
\( = \displaystyle \int (1/4)(1+\cos u) \; du \)
أوجد تكامل ما ورد أعلاه
\( = (1 / 4) u + (1 / 4) \sin (u) + c \)
استبدل \(u \) بـ \(2x \) وبسّط
\[ \displaystyle \int \cos^2 x \; dx = x / 2 + (1 / 4) \sin (2 x) + c \]
تحقق من الإجابة النهائية عن طريق التفاضل.
مثال 4
احسب التكامل
\[\displaystyle\int x^3 e^{x^4} \; dx\]
حل إلى مثال 4
استخدم التكامل بالتعويض : دع \(u = x ^ 4 \) بحيث \(du / dx = 4 x^3 \) مما يؤدي إلى \((1/4) du = x ^ 3 dx \) ، بحيث يمكن كتابة التكامل المعطى كـ
\( \displaystyle\int x^3 e^{x^4} dx = \int (1 / 4) e^u \; du \)
نستخدم الآن صيغة كتابة تكامل الدالة الأسية
\( \displaystyle\int (1 / 4) e^u \; du = (1 / 4) e^u + c \)
استبدل \(u \) بـ \(x ^ 4 \) للحصول على الإجابة النهائية
\[ \displaystyle\int x^3 e^{x^4} dx = (1 / 4) e^{x^4}+ c \]
مثال 5
احسب التكامل
\[\displaystyle \int \dfrac{\sin (2x)}{1-\cos^2(x)} \; dx \]
حل إلى مثال 5
استخدم هويات المثلثات (ال (متطابق): \( \sin (2x) = 2 \sin x \; \cos x \) و \( 1-\cos^2(x) = \sin^2(x) \) لإعادة صياغة التكامل المعطى على النحو التالي:
\( \displaystyle \int \dfrac{\sin (2x)}{1-\cos^2(x)}dx = \displaystyle \int \dfrac{2 \sin x \cos x}{\sin^2(x)}dx \)
بسّط وأعد الكتابة بالشكل
\( = \displaystyle \int 2 \dfrac{\cos x}{\sin x} \; dx \)
استخدم صيغة التكامل \( \displaystyle\int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \; dx = \ln | f(x)| +c \) للحصول على
\( = 2 \ln |\sin \; x| \)
استخدم خاصية اللوغاريتم \( \; a \ln x = \ln x^a \) لإعادة صياغة النتيجة النهائية على النحو التالي:
\[ \displaystyle \int \dfrac{\sin (2x)}{1-\cos^2(x)}dx = \ln (\sin^2(x) ) \]
مثال 6
احسب التكامل
\[\displaystyle \int (x+\sin x)^2 \; dx \]
حل إلى مثال 6
قم بتوسيع المعادلة \( (x+\sin x)^2 = x^2 + \sin^2 x + 2 x \sin x \) واستخدم قاعدة جمع التكاملات \( \displaystyle \int (f(x) + g(x) + h(x) ) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx + \int h(x) dx \) لإعادة صياغة التكامل المعطى على النحو التالي:
\( \displaystyle \int (x+\sin x)^2 \; dx = \int x^2 \; dx + \int \sin^2 x \; dx + \int 2 x \; \sin x \; dx\)
احسب كل تكامل في المجموع أعلاه
\( \displaystyle \int x^2 \; dx = (1/3) x^3 + c\)
استخدم هوية المثلثات \( \; \sin^2 x = (1 - \cos (2x)) / 2 \) لتقليل الأس وإعادة صياغة التكامل الثاني في الجمعة على النحو التالي:
\( \displaystyle \int \sin^2 x \; dx = \int \dfrac{1 - \cos (2x)}{2} \; dx = (1/2) x - (1/4) \sin (2x) + c\)
يتم حساب التكامل الثالث باستخدام طريقة التكامل بالأجزاء (Integration by Parts): \( \int u' v \; dx = u v - \int u v' \; dx \).
لنقم بتعيين قيم للمتغيرات على النحو التالي: \( v = x \) و \( u' = \sin x \) بحيث يكون \( v' = 1 \) و \( u = - \cos x \).
\( \displaystyle \int 2 x \; \sin x \; dx = 2 (- x \cos x - \int (- cos x) dx ) = - 2 x \cos x + 2 \sin x + c \)
الإجابة النهائية للتكامل المعطى هي مجموع جميع الأندية التكاملية الثلاثة المحسوبة أعلاه.
\[\displaystyle \int (x+\sin x)^2 \; dx = (1/3) x^3 + (1/2) x - (1/4) \sin (2x) - 2 x \cos x + 2 \sin x + c \]
مثال 7
احسب التكامل
\[\displaystyle \int \dfrac{\sin x}{\sin^2 x - 2 \cos x + 2} \; dx \]
حل إلى مثال 7
استخدم هوية المثلثات \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) لإعادة صياغة التكامل المعطى على النحو التالي:
\(\displaystyle \int \dfrac{\sin x}{\sin^2 x - 2 \cos x + 2} \; dx = \int \dfrac{\sin x}{1 - \cos^2 x - 2 \cos x + 2} \; dx \)
ثم استخدم طريقة التكامل بالاستبدال: دعنا نعين \( u = \cos x \) مما يعطي \( \dfrac{du}{dx} = - \sin x \) و \( du = - \sin x \; dx \) ونستبدل في التكامل:
\( \displaystyle \int \dfrac{\sin x}{1 - \cos^2 x - 2 \cos x + 2} \; dx = \int \dfrac{1}{u^2 + 2 u - 3} du\)
حلل المقام \(u ^ 2 + 2 u - 3 = (u + 3) (u-1) \) واl "> تحلل الكسور الجزئية لإعادة كتابة \(\dfrac {1} {u ^ 2 + 2 u - 3} \) بالشكل
\[\dfrac {1} {u ^ 2 + 2 u - 3} = \dfrac {A} {u + 3} + \dfrac {B} {u + 3} \\\\
= \dfrac {1} {4 (u-1)} - \dfrac {1} {4 (u + 3)} \]
عوض في التكامل في \(u \) واستخدم المجموع قاعدة التكاملات للكتابة
\(\displaystyle \int \dfrac {1} {u ^ 2 + 2 u - 3} du = \int \dfrac {1} {4 (u-1)} du - \int \dfrac{1}{4(u+3)} du \)
استخدم قاعدة التكامل \( \displaystyle\int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \; dx = \ln | f(x)| +c \) على كل تكامل منفرد على النحو التالي:
\( \displaystyle \int \dfrac {1} {4 (u-1)} du - \int \dfrac{1}{4(u+3)} du = (1/4) (\ln |u-1| - \ln|u+3| + c) \)
ثم استبدل \( u = \cos x \) للحصول على النتيجة النهائية على النحو التالي:
\[\displaystyle \int \dfrac{\sin x}{\sin^2 x - 2 \cos x + 2} \; dx = (1/4) (\ln | \cos x -1| - \ln| \cos x +3| ) + c \]
ثم استخدم خاصية اللوغاريتم \( \ln \dfrac {X}{Y} = \ln X - \ln Y \) لإعادة صياغة الإجابة النهائية على النحو التالي:
\[\displaystyle \int \dfrac{\sin x}{\sin^2 x - 2 \cos x + 2} \; dx = (1/4) \left(\ln \left|\dfrac{ \cos x -1}{\cos x +3} \right|\right) + c \]
مثال 8
احسب التكامل
\[\displaystyle \int \dfrac{1}{x+\sqrt{x+2}} \; dx \]
حل إلى مثال 8
استخدم التكامل بالتعويض
دع \(u = \sqrt {x + 2} \)؛ قم بتربيع كلا الجانبين وحل من أجل \(x \) للحصول على \(x = u ^ 2 - 2 \).
لدينا أيضًا \(\dfrac {du} {dx} = \dfrac {1} {2} (x + 2)^{- 1/2} \) والذي يعطي \(dx = 2 (x + 2) ^ { 1/2} \; du = 2u \; du \). يصبح التكامل
\( \displaystyle \int \dfrac{1}{x+\sqrt{x+2}} \; dx = 2 \int \dfrac {u}{u^2 -2 + u} \; du \)
حلل المقام \(u ^ 2 -2 + u = (u + 2) (u-1) \) واكتب الكسر الجزئي \(\dfrac {u} {u ^ 2 -2 + u} \) بالشكل
\(\dfrac {u} {u ^ 2 -2 + u} = \dfrac {A} {u-1} + \dfrac {B} {u + 2} \)
حل من أجل \(A \) و \(B \) للحصول عليها
\(\dfrac {u} {u ^ 2 -2 + u} = \dfrac {1} {3 (u-1)} + \dfrac {2} {3 (u + 2)} \)
عوض في التكامل في \(u \) واستخدم المجموع قاعدة التكاملات للكتابة
\(\displaystyle 2 \int \dfrac {u} {u ^ 2 -2 + u} \; du = 2 \int \dfrac {1} {3 (u-1)} du + 2 \int \dfrac {2 } {3 (u + 2)} du \)
استخدم صيغة التكامل \(\displaystyle \int \dfrac {f '(x)} {f (x)} \; dx = \ln | f (x) | + c \) لكل تكامل
\(= (2/3) \ln | u-1 | + (4/3) \ ln| u + 2 | + c \)
استبدل \(u = \sqrt {x + 2} \) للحصول على النتيجة النهائية كـ
\[ \displaystyle \int \dfrac {\sin x} {\sin ^ 2 x - 2\cos x + 2} \; dx = (2/3) \ln | \sqrt {x + 2} -1 | + (4/3) \ln | \sqrt {x + 2} +2 | + c \]
مثال 9
احسب التكامل
\[\displaystyle \int \dfrac{1}{\tan x} \; dx \]
حل إلى مثال 9
استخدم الهوية المثلثية \(\tan (x) = \dfrac {\sin (x)} { \cos (x)} \) لإعادة كتابة التكامل
\(\displaystyle \int \dfrac {1} {\tan x} \; dx = \int \dfrac {\cos x} {\sin x} \; dx \)
استخدم صيغة التكامل \(\displaystyle \int \dfrac {f '(x)} {f (x)} \; dx = \ln | f (x) | + c \) للحصول على
\( = \ln | \sin x | + c \)
لذلك
\[\displaystyle \int \dfrac{1}{\tan x} \; dx = \ln | \sin x | + c \]
مثال 10
احسب التكامل
\[\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2 + 2x + 1} \; dx \]
حل إلى مثال 10
أكمل المربع في المقام
\( \displaystyle \int \dfrac{1}{x^2 + 2x + 1} \; dx = \int \dfrac {1}{(x+1)^2} \; dx \)
استخدم التكامل بالتعويض : دع \(u = x + 1 \) ومن ثم \(\dfrac {du } {dx} = 1 \) مما يعطي \(dx = du \)
\( = \displaystyle \int \dfrac {1}{u^2} \; du \)
أعد الكتابة بتنسيق
\( = \displaystyle \int u^{-2} \; du \)
استخدم صيغة تكامل دالة الطاقة: \(\displaystyle \int x ^ n dx = \left (\dfrac {1} {n + 1} \right) \; x ^ {n + 1} + c \) to يحصل على
\( = - u^{-1} + c \)
\( = - \dfrac{1}{u}+ c\)
استبدل مرة أخرى: \(u = x + 1 \) لكتابة النتيجة النهائية على شكل
\[ \displaystyle \int \dfrac{1}{x^2 + 2x + 1} \; dx = - \dfrac{1}{x+1} + c \]
مثال 11
احسب التكامل
\[\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2+x+1} \; dx \]
حل إلى مثال 11
التكامل المعروف القريب من التكامل المحدد هو \(\displaystyle \int \dfrac {1} {x ^ 2 + 1} dx = \arctan (x) + c \).
ابدأ بإكمال المربع في المقام
\( x^2+x+1 = (x + 1/2)^2 + 3/4 \)
استخدم التكامل بالتعويض : دع \(u = x + 1/2 \) الذي يعطي \(dx = du \) وأعد كتابة التكامل بالشكل
\(\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2+x+1}dx = \int \dfrac{1}{u^2+3/4} du \)
حلل العامل \( 3/4 \) في المقام
\(\displaystyle = \dfrac{4}{3} \int \dfrac{1}{\dfrac{4}{3} u^2+1} du \)
البديل: \(w = \dfrac {2} {\sqrt 3} u \) والذي يعطي \(w ^ 2 = \dfrac {4} {3} u ^ 2 \) و \(\dfrac {dw} {du } = \dfrac {2} {\sqrt 3} \) والتي يمكن كتابتها كـ \(du = \dfrac {\sqrt 3} {2} dw \) وأعد كتابة التكامل كـ
\( \displaystyle \dfrac{1}{3/4} \int \dfrac{1}{\dfrac{4}{3} u^2+1} du = \dfrac{1}{3/4} \dfrac{\sqrt 3}{2} \int \dfrac{1}{w^2+1} dw \)
بسّط وأعد كتابة النتيجة بالشكل
\( \displaystyle \dfrac{1}{3/4} \int \dfrac{1}{\dfrac{4}{3} u^2+1} du = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \arctan w\)
استبدل \( w = \dfrac{2}{\sqrt 3} u \) و \( u = x + 1/2 \) أو مباشرة \( w = \dfrac{2}{\sqrt 3} (x+1/2) \) للحصول على الإجابة النهائية كـ
\[\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2+x+1}dx = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left(\dfrac{2}{\sqrt 3} (x+1/2) \right) \]
مثال 12
احسب التكامل
\[\displaystyle \int \dfrac{x^4-2x^2+x}{x^2+x+1} \; dx \]
حل إلى مثال 12
لاحظ أن درجة البسط أكبر من درجة المقام ، وبالتالي نقسم البسط على المقام.
\( \dfrac{x^4-2x^2+x}{x^2+x+1} = x^2-x-2+\dfrac{4x+2}{x^2+x+1} \)
يمكن كتابة التكامل المعطى كـ
\(\displaystyle\int \frac{x^4-2x^2+x}{x^2+x+1}dx = \int \left(x^2-x-2+\dfrac{4x+2}{x^2+x+1} \right) du \)
\(x ^ 2-x-2 \) هو كثير الحدود.
\( \dfrac {4x + 2} {x ^ 2 + x + 1} \) يمكن كتابته على هيئة
\( \dfrac{4x+2}{x^2+x+1} = 2 \dfrac{2x+1}{x^2+x+1} \)
لاحظ أن البسط \(2x + 1 \) هو مشتق المقام \(x ^ 2 + x + 1 \) ولذلك نستخدم صيغة التكامل \( \displaystyle \int \dfrac {f '(x) } {f (x)} \; dx = \ln | f (x) | + c \) للحصول على الإجابة النهائية
\[ \displaystyle \int \frac{x^4-2x^2+x}{x^2+x+1}dx = (1/3)x^3 - (1/2)x^2 - 2 x + 2 \ln |x^2+x+1| + c \]
مثال 13
احسب التكامل
\[\displaystyle \int \left(x^3-\dfrac{1}{x^2}\right)^4 \; dx \]
حل إلى مثال 13
استخدم نظرية ذات الحدين \( \displaystyle \left(x+y\right)^n=\sum _{i=0}^n\binom{n}{i}x^{\left(n-i\right)}y^i \) لتوسيع \((x ^ 3- \dfrac {1} {x ^ 2}) ^ 4 \).
\( \left(x^3-\dfrac{1}{x^2}\right)^4 = x^{12}-4x^7+6x^2-\dfrac{4}{x^3}+\dfrac{1}{x^8} \)
يمكن كتابة التكامل المعطى كـ
\(\displaystyle \int \left(x^3-\dfrac{1}{x^2}\right)^4 \; dx = \int \left(x^{12}-4x^7+6x^2-\dfrac{4}{x^3}+\dfrac{1}{x^8} \right) dx \)
استخدم تكامل الطاقة: \( \displaystyle \int x^n dx = \left(\dfrac{1}{n+1}\right) \; x^{n+1} + c \) للحصول على الإجابة النهائية
\[ \displaystyle \left(x^3-\dfrac{1}{x^2}\right)^4 \; dx = \dfrac{x^{13}}{13}-\dfrac{x^8}{2}+2x^3+\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{7x^7}+ c \]
مثال 14
احسب التكامل
\[\displaystyle \int \tan^2(x) \; dx \]
حل إلى مثال 14
استخدم الهوية المثلثية \(\tan ^ 2 x = \sec ^ 2 x - 1 \) لإعادة كتابة االتكامل.
\[\displaystyle \int \tan^2(x) \; dx = \int (\sec^2 x - 1) \; dx \\
= \displaystyle \int \sec^2 x \; dx - \int \; dx \]
استخدم الصيغة \(\displaystyle \int \sec ^ 2 x dx = \tan (x) + c \) للحصول على الإجابة النهائية
\[\displaystyle \int \tan^2(x) \; dx = \tan (x) - x + c \]
مثال 15
احسب التكامل
\[\displaystyle \int x^4(4x^5 - 2)^{10} \; dx \]
حل إلى مثال 15
لاحظ أن مشتق \(4x ^ 5 - 2 \) يساوي \(20 x ^ 4 \) ومن هنا جاءت طريقة الاستبدال: دع \(u = 4x ^ 5 - 2 \) الذي يعطي \(\dfrac {du } {dx} = 20 x ^ 4 \) و \(dx = \dfrac {du} {20 x ^ 4} \)
يمكن كتابة التكامل
\(\displaystyle \int x^4(4x^5 - 2)^{10} \; dx = \int x^4 u^{10} \dfrac{1}{20 x^4} du \)
بسّط واكتب بصيغة
\(\displaystyle \int x^4(4x^5 - 2)^{10} \; dx = \dfrac{1}{20} \int u^{10} du \)
استخدم تكامل القوة: \( \displaystyle \int x^n dx = \left(\dfrac{1}{n+1}\right) \; x^{n+1} + c \) ليحصل
\(\displaystyle \int x^4(4x^5 - 2)^{10} \; dx = \dfrac{1}{120} u^{11} + c \)
بديل \( u = 4x^5 - 2 \)
\[\displaystyle \int x^4(4x^5 - 2)^{10} \; dx = \dfrac{1}{220} ( 4x^5 - 2 )^{11} + c \]
مثال 16
احسب التكامل
\[\displaystyle \int x^2 \arcsin(x) \; dx \]
حل إلى مثال 16
التكامل بالأجزاء: \( \int w' v \; dx = w v - \int w v' \; dx \).
لنفترض \( w' = x^2 \)، وبالتالي \( w = (1/3) x^3 \) و\( v = \arcsin(x) \)، وبالتالي \( v' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
\( \displaystyle \int x^2 \arcsin(x) \; dx = (1/3) x^3 \arcsin(x) - (1/3) \int x^3 \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \;dx \qquad (I) \)
يمكن التعامل مع التكامل على الجانب الأيمن باستخدام التبديل: لنفترض
\( u = \sqrt {1-x^2} \)، وبالتالي \( \dfrac{du}{dx} = -2 x (1/2) (1-x^2)^{-1/2} = - x/u \) أو \( \; dx = - (u/x) du \)
\( \displaystyle \int x^3 \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \;dx = - \int x^3 \dfrac{1}{u}(u/x) \; du \)
نقوم بتبسيط المعادلة
\( \displaystyle = - \int x^2 \; du \)
نربع الجانبين من المعادلة \( u = \sqrt {1-x^2} \) ونحل للحصول على \( x^2 = 1 - u^2 \) ونستبدل في التكامل السابق
\( = \displaystyle \int (u^2 - 1) \; du \)
نحسب التكامل السابق
\( = \displaystyle (1/3) u^3 - u + c\)
نستبدل القيمة \( u = \sqrt {1-x^2} \) ونستبدل في التكامل (I) للحصول على الإجابة النهائية
\[ \displaystyle \int x^2 \arcsin(x) \; dx = \dfrac{1}{3} x^3 \arcsin(x) - \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{3} \sqrt {1-x^2}^3 - \sqrt {1-x^2} \right) + c \]
مثال 17
احسب التكامل
\[\displaystyle \int \sqrt x \ln x \; dx \]
حل إلى مثال 17
استخدم التكامل بالأجزاء: \( \int w' v \; dx = w v - \int w v' \; dx \). لنفرض \( w' = \sqrt x \)، إذن \( w = \frac{2}{3}x^{3/2} \) و \( v = \ln x \)، إذن \( v' = \frac{1}{x} \)
\( \displaystyle \int \sqrt x \ln x \; dx = \frac{2}{3}x^{3/2} \ln x - \int \frac{2}{3}x^{3/2} \cdot \frac{1}{x} \; dx \)
نبسط الجانب الأيمن
\( \displaystyle \int \sqrt x \ln x \; dx = \frac{2}{3}x^{3/2} \ln x - \int \frac{2}{3}x^{1/2} \; dx \)
نحسب التكامل للحصول على الإجابة النهائية
\[ \displaystyle \int \sqrt x \ln x \; dx = \frac{2}{3} \; x^{3/2} \ln x - \left(\frac{2}{3}\right)^2 x^{3/2} + c \]
مثال 18
احسب التكامل
\[\displaystyle \int \dfrac{\sqrt{x+1}}{x} \; dx \]
حل إلى مثال 18
استخدم التكامل بالاستبدال: لنفرض \( u = \sqrt{x+1} \) مما يعطينا \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2} (x+1)^{-\dfrac{1}{2}} \) أو \( dx = 2 \cdot u \cdot du \).
حل المعادلة \( u = \sqrt{x+1} \) للحصول على \( x = u^2 - 1 \) وإعادة صياغة التكامل كما يلي:
\(\displaystyle \int \dfrac{\sqrt{x+1}}{x} \; dx = \int \dfrac{u}{u^2 - 1} 2u \; du \qquad (I) \)
نبسط التعبير
\(\displaystyle \int \dfrac{\sqrt{x+1}}{x} \; dx = 2 \int \dfrac{u^2}{u^2 - 1} \; du \)
نقسم البسط على المقام في \( \dfrac{u^2}{u^2 - 1} \)
\( \dfrac{u^2}{u^2 - 1} = 1 + \dfrac{1}{u^2-1} \)
وتساعدنا تقسيم الكسر الجزئي لـ \( \dfrac{1}{u^2-1} \) في إعادة صياغة المتكامل كما يلي:
\( \dfrac{u^2}{u^2 - 1} = 1 - \dfrac{1}{2(u+1)} + \dfrac{1}{2(u-1)} \)
نقوم بالاستبدال ونحسب التكامل في الجانب الأيمن من المعادلة (I).
\(\displaystyle 2 \int (1 - \dfrac{1}{2(u+1)} + \dfrac{1}{2(u-1)} \;) du = 2 (u - \dfrac{1}{2} \ln |u + 1 | + \dfrac{1}{2} \ln |u - 1| ) + c \)
نعيد الاستبدال \( u = \sqrt{x+1} \) ونستخدم خواص اللوغاريتم للحصول على الإجابة النهائية.
\[\displaystyle \int \dfrac{\sqrt{x+1}}{x} \; dx = 2 \sqrt{x+1} + \ln \left(\dfrac{|x|}{(\sqrt{x+1} + 1)^2}\right) + c\]
مثال 19
احسب التكامل
\[\displaystyle \int \sin\left(\sqrt{x}\right) \; dx \]
حل إلى مثال 19
استخدم التكامل بالاستبدال: لنفرض \( u = \sqrt{x} \) مما يعطينا \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2} x^{-\dfrac{1}{2}} \) أو \( dx = 2 \cdot u \cdot du \).
\( \displaystyle \int \sin\left(\sqrt{x}\right) \; dx = 2 \int u \sin u \; du \)
قم بتطبيق التكامل بالأجزاء على \( \int u \sin u \; du \): \( \int w' v \; dx = w v - \int w v' \; dx \). لنفرض \( w' = \sin u \) وبالتالي \( w = -\cos u \) و \( v = u \) وبالتالي \( v' = 1 \).
\( \displaystyle \int u \sin u \; du = - u \cos u + \int \cos u \; du = - u \cos u + \sin u + c \)
أعد الاستبدال بالعودة إلى \( u = \sqrt{x} \) للحصول على الإجابة النهائية
\[\displaystyle \int \sin\left(\sqrt{x}\right) \; dx = - 2 \sqrt{x} \cos \sqrt{x} + 2 \sin \sqrt{x} + c \]
مثال 20
احسب التكامل
\[\displaystyle \int \dfrac{1}{e^x+e^{-x}} \; dx \]
حل إلى مثال 20
استخدم التكامل بالاستبدال: لنفرض \( u = e^x \) مما يعطينا \( \dfrac{du}{dx} = e^x \) أو \( dx = \dfrac{1}{e^x} du = \dfrac{1}{u} du \).
\(\displaystyle \int \dfrac{1}{e^x+e^{-x}} \; dx = \int \dfrac{1}{u+1/u} \; \dfrac{1}{u} \; du\)
قم بتبسيط العبارة.
\(\displaystyle = \int \dfrac{1}{u^2+1} \; du\)
استخدم التكامل المعتاد \( \int \dfrac{1}{u^2+1} du = \arctan(u) \) للحصول على النتيجة.
\(\displaystyle = \arctan(u) + c\)
قم بالاستبدال العكسي \( u = e^x \) للحصول على الإجابة النهائية.
\[\displaystyle \int \dfrac{1}{e^x+e^{-x}} \; dx = \arctan(e^x) + c\]
مثال 21
احسب التكامل
\[\displaystyle \int \log_5 x \; dx \]
حل إلى مثال 21
أولاً، نستخدم صيغة تغيير القاعدة للوغاريتم: \( \log_5 (x) = \dfrac{\ln x}{\ln 5} \) لكتابة التكامل المعطى على الشكل التالي:
\(\displaystyle \int \log_5 x \; dx = \dfrac{1}{\ln 5} \int \ln x \; dx\)
نطبق طريقة التكامل بالأجزاء على التكامل \( \int \ln x \; dx \): \( \int w' v \; dx = w v - \int w v' \; dx \). لنفرض \( w' = 1 \) لذلك \( w = x \) و \( v = \ln x \) لذلك \( v' = 1/x \)
\( \displaystyle \int \ln x \; dx = x \ln x - \int x (1/x) \; dx = x\ln x - \int dx\)
نقوم بتبسيطها وكتابة الإجابة النهائية على الشكل التالي:
\[ \displaystyle \int \log_5 x \; dx = \dfrac{1}{\ln 5} (x \ln x - x) + c\]
مثال 22
احسب التكامل
\[\displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \; dx \]
حل إلى مثال 22
لاحظ أنه إذا كان هناك طريقة لكتابة التعبير تحت الجذر التربيعي على شكل مربع، فإن الجذر التربيعي سيتبسط.
في علم المثلثات، لدينا الهوية \( \sqrt {1 - \sin^2 t} = \sqrt {\cos^2 t} = | \cos t | \)
نحتاج إلى إجراء تغيير متغير بحيث يكون التعبير تحت الجذر في التكامل المعطى مشابهًا للمثال أعلاه.
\( \sqrt{16 - x^2} = 4 \sqrt {1 - \dfrac{x^2}{16}} = 4 \sqrt {1 - \left(\dfrac{x}{4} \right)^2} \)
استخدم طريقة التعويض المثلثي: دع \( \; \dfrac{x}{4} = \sin t \) مما يعطي \( x = 4 \sin t \) و \( \dfrac{dx}{dt} = 4 \cos t \) أو \( dx = 4 \cos t \; dt \)
\( \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \; dx = \int \dfrac{ (4 \sin t)^2 }{4 | \cos t |} \; 4 \cos t dt \)
التكامل أعلاه يمكن إجراؤه فقط إذا استطعنا تبسيط \( | \cos t | \). بالنسبة للتكاملات غير المحددة، يمكننا أن نفترض إما \( | \cos t | = \cos t \) أو \( | \cos t | = - \cos t \).
بالنسبة للتكاملات المحددة، نحتاج إلى دراسة إشارة \( \cos t \) على فترة التكامل. التكامل المعطى هو غير محدد وسنفترض أن \( \cos t \ge 0 \) وبالتالي \( | \cos t | = \cos t \). وبالتالي يمكن تبسيط التكامل وكتابته على النحو التالي
\( \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \; dx = 16 \int \sin t^2 \; dt \)
استخدم الهوية المثلثية \( \sin^2 t = \dfrac{1}{2}(1 - \cos (2t)) \) لإعادة صياغة التكامل على النحو التالي
\( \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \; dx = 16 \int (1/2)(1- \cos (2t)t) \; dt \)
قم بحساب التكامل السابق على النحو التالي
\( \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \; dx = 8 t - 4 \sin (2t) +c \)
يمكن كتابة الاستبدال \(x = 4 \sin t \) أعلاه كـ \(t = \arcsin (x / 4) \) المستخدم في النتيجة أعلاه ويعطي الإجابة النهائية
\[ \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \; dx = 8 \arcsin(x/4) - 4 \sin (2 \arcsin(x/4)) + c\]
استخدم جدول التكاملات والخصائص أعلاه لحساب التكاملات التالية. [لاحظ أنك قد تحتاج إلى استخدام أكثر من خاصية واحدة من الخصائص والطرق المذكورة أعلاه لتكامل واحد].
