تعريف التكاملات الماعتة ذات الفترات اللانهائية [1] [2]
نأخذ في الاعتبار 3 أنواع من التكاملات ذات فترة (فترات) لانهائية:
1 - الحد العلوي للتكامل لانهائي
التكامل من الشكل \( \displaystyle \int_a^{\infty} f(x) \, dx \) موجود ومتقارب إذا كان \( \int_a^{b} f(x) \, dx \) موجوداً لجميع \( b \ge a \) وكانت النهاية:
\[ \lim_{b \to \infty} \int_a^{b} f(x) \, dx \]
موجودة ومحدودة. نكتب حينئذ:
\[ \int_a^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^{b} f(x) \, dx \]
2 - الحد السفلي للتكامل لانهائي
التكامل من الشكل \( \displaystyle \int_{-\infty}^a f(x) \, dx \) موجود ومتقارب إذا كان \( \int_b^{a} f(x) \, dx \) موجوداً لجميع \( b \le a \) وكانت النهاية:
\[ \lim_{b \to -\infty} \int_b^{a} f(x) \, dx \]
موجودة ومحدودة. نكتب حينئذ:
\[ \int_{-\infty}^a f(x) \, dx = \lim_{b \to -\infty} \int_b^{a} f(x) \, dx \]
3 - كلا حدود التكامل لانهائيان
التكامل من الشكل \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx \) موجود ومتقارب إذا كان كلا التكاملين:
\[ \int_{-\infty}^a f(x) \, dx \quad \text{و} \quad \int_a^{\infty} f(x) \, dx \]
متقاربين لأي عدد حقيقي \( a \) . نكتب حينئذ:
\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \int_{-\infty}^a f(x) \, dx + \int_a^{\infty} f(x) \, dx \]
ملاحظة: يتم تقسيم فترة التكامل عند \( x = a \) ، مما ينتج عنه مجموع تكاملين، لكل منهما حد لانهائي واحد فقط.
الشكل 1. مرجع دالة الدرجة الوحدة.
الأمثلة وحلولها
المثال 1
قيم التكامل المعطى أدناه إن أمكن:
\[ \int_1^{\infty} x \, dx \]
إظهار الحل للمثال 1
الحل للمثال 1
التكامل المعطى له حد علوي لانهائي. بالتعريف، نكتب:
\[ \int_1^{\infty} x \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^{b} x \, dx \]
قيم التكامل المحدود:
\[ \lim_{b \to \infty} \left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_1^b = \lim_{b \to \infty} \left( \dfrac{b^2}{2} - \dfrac{1}{2} \right) = \infty \]
الخلاصة: النهاية لانهائية؛ لذلك، التكامل الماعت \( \int_1^{\infty} x \, dx \) متباعد .
المثال 2
هل التكامل أدناه متقارب أم متباعد؟ قيمه إذا كان متقارباً.
\[ \int_1^{\infty} \dfrac{1}{x^2} \, dx \]
إظهار الحل للمثال 2
الحل للمثال 2
التكامل المعطى له حد علوي لانهائي. بالتعريف:
\[ \int_1^{\infty} \dfrac{1}{x^2} \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^{b} \dfrac{1}{x^2} \, dx \]
قيم التكامل المحدود:
\[ \lim_{b \to \infty} \left[ -\dfrac{1}{x} \right]_1^b = \lim_{b \to \infty} \left( -\dfrac{1}{b} + 1 \right) = 1 \]
الخلاصة: التكامل الماعت المعطى \( \int_1^{\infty} \dfrac{1}{x^2} \, dx \) متقارب ويساوي \( 1 \) .
المثال 3
قيم التكامل المعطى أدناه إن أمكن:
\[ \int_{-\infty}^0 \dfrac{1}{\sqrt{2 - 3x}} \, dx \]
إظهار الحل للمثال 3
الحل للمثال 3
التكامل المعطى له حد سفلي لانهائي. بالتعريف:
\[ \int_{-\infty}^0 \dfrac{1}{\sqrt{2 - 3x}} \, dx = \lim_{b \to -\infty} \int_{b}^{0} \dfrac{1}{\sqrt{2 - 3x}} \, dx \]
قيم التكامل باستخدام التعويض:
\[
\begin{aligned}
&= \lim_{b \to -\infty} \left[ -\dfrac{2}{3}\sqrt{2 - 3x} \right]_b^0 \\[10pt]
&= \lim_{b \to -\infty} \left( -\dfrac{2}{3}\sqrt{2} + \dfrac{2}{3}\sqrt{2 - 3b} \right) = -\dfrac{2}{3}\sqrt{2} + \infty = \infty
\end{aligned}
\]
الخلاصة: النهاية لانهائية، لذا التكامل الماعت متباعد .
المثال 4
قيم التكامل المعطى أدناه إن أمكن:
\[ \int_{-\infty}^{\infty} x^5 e^{-x^6} \, dx \]
إظهار الحل للمثال 4
الحل للمثال 4
بما أن كلا الحدود لانهائيان، فنحن نقسم التكامل عند \( x = 0 \) :
\[ \int_{-\infty}^{\infty} x^5 e^{-x^6} \, dx = \int_{-\infty}^{0} x^5 e^{-x^6} \, dx + \int_{0}^{\infty} x^5 e^{-x^6} \, dx = I_1 + I_2 \]
أوجد التكامل غير المحدود باستخدام التعويض \( u = x^6 \) ، \( du = 6x^5 dx \) :
\[ \int x^5 e^{-x^6} \, dx = -\dfrac{1}{6} e^{-x^6} + C \]
قيم \( I_1 \) و \( I_2 \) :
\[ I_1 = \lim_{b \to -\infty} \left[ -\dfrac{1}{6} e^{-x^6} \right]_b^0 = \lim_{b \to -\infty} \left(-\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} e^{-b^6}\right) = -\dfrac{1}{6} \]
\[ I_2 = \lim_{b \to \infty} \left[ -\dfrac{1}{6} e^{-x^6} \right]_0^b = \lim_{b \to \infty} \left(-\dfrac{1}{6} e^{-b^6} + \dfrac{1}{6}\right) = \dfrac{1}{6} \]
القيمة الكلية:
\[ \int_{-\infty}^{\infty} x^5 e^{-x^6} \, dx = -\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = 0 \]
المثال 5
ما هي القيم التي يجعلها التكامل:
\[ \int_{e}^{\infty} \dfrac{1}{x(\ln x)^{p+1}} \, dx \]
متقارباً؟ أوجد قيمته بدلالة \( p \) .
إظهار الحل للمثال 5
الحل للمثال 5
أعد الكتابة باستخدام نهاية للحد العلوي اللانهائي:
\[ \int_{e}^{\infty} \dfrac{1}{x(\ln x)^{p+1}} \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_e^{b} \dfrac{1}{x(\ln x)^{p+1}} \, dx \]
باستخدام التعويض \( u = \ln x \) ، \( du = \frac{1}{x} dx \) :
\[ \int u^{-p-1} \, du = -\dfrac{1}{p} u^{-p} + C = -\dfrac{1}{p} (\ln x)^{-p} + C \]
تقييم النهاية:
\[ \lim_{b \to \infty} \left[ -\dfrac{1}{p} (\ln b)^{-p} + \dfrac{1}{p} (\ln e)^{-p} \right] = -\lim_{b \to \infty} \dfrac{1}{p} (\ln b)^{-p} + \dfrac{1}{p} \]
من أجل \( p > 0 \) ، فإن \( (\ln b)^{-p} \to 0 \) عندما \( b \to \infty \) ، مما يجعل النهاية محدودة. وبالتالي، فإن التكامل متقارب من أجل \( p > 0 \) ويساوي:
\[ \int_{e}^{\infty} \dfrac{1}{x(\ln x)^{p+1}} \, dx = \dfrac{1}{p} \quad \text{for } p > 0 \]
