الاشتقاق والتقييم
يتم تقديم خطوات حساب تكامل دالة اللوغاريتم الطبيعي:
\[ \int \ln x \, dx \]
أدناه.
نُعيد أولاً كتابة التكامل المعطى على الصورة:
\[ \int \ln x \, dx = \int 1 \cdot \ln x \, dx \]
ليكن \( u' = 1 \) و \( v = \ln x \)، واللذان مشتقتاهما الأولى معطاة بـ \( u = x \) و \( v' = \dfrac{1}{x} \).
تكاملنا من الشكل:
\[ \int \ln x \, dx = \int u' \cdot v \, dx \]
استخدم صيغة التكامل بالأجزاء \( \int u' v \, dx = u v - \int u v' \, dx \) لكتابة:
\[ \int \ln x \, dx = u v - \int u \cdot v' \, dx \]
عوض بـ \( u, v, \) و \( v' \) للحصول على:
\[ = x \ln x - \int x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \]
بسط الحد في الطرف الأيمن:
\[ = x \ln x - \int 1 \, dx \]
قيم التكامل:
\[ = x \ln x - x + c \]
حيث \( c \) هو ثابت التكامل.
صيغة التكامل لـ \( \ln x \):
\[ \int \ln x \, dx = x \ln x - x + c \]